Chủ đề này có 1 trả lời

[Dennis Nguyen]

Tìm tất cả các đa thức khác không $P(x)$ thỏa đồng nhất thức: $P(x^2)\equiv [P(x)]^2, x\in R$

[Hoang72]

Trước hết nhận thấy $P(x)$ là đa thức monic.

Đặt $P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_n$.

Giả sử tồn tại một hệ số khác 0.

Gọi $k$ nhỏ nhất sao cho $a_k\neq 0$.

Khi đó $P(x)=x^n+a_kx^{n-k}+a_{k+1}x^{n-k-1}+...+a_n$.

Do $P(x^2)\equiv [P(x)]^2$ nên đồng nhất hệ số của $x^{2n-k}$ ta có $2a_k=0$.

Do đó $a_k=0$. (vô lí)

Vậy $P(x)=x^n$, với $n$ là số nguyên dương bất kì.