Chủ đề này có 1 trả lời

[quangminh0931]

cho dãy số ( u_n ) thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} u_{1}^{}=\frac{\sqrt{2}}{2} & & \\ u_{n+1} =\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\sqrt{1-u_{n}^{2}}} &\forall n\geq 1 & \end{matrix}\right.$

xác định công thức số hạng tổng quát của (u_n )

[Hoang72]

Trước hết nhận thấy $u_1=\sin\frac{\pi}{2^2}$.

Ta sẽ chứng minh $u_n=\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}$ (*) với mọi $n\in\mathbb N^*$.

Với $n=1$ thì $(*)$ đúng.

Giả sử $(*)$ đúng đến $n$. Ta chứng minh $(*)$ cũng đúng với $n+1$.

Thật vậy, ta có $u_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1-\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}}{2}}=\left|\sin\frac{\pi}{2^{n+2}}\right|=\sin\frac{\pi}{2^{n+2}}$.

Do đó $(*)$ cũng đúng với $n+1$.

Vậy $u_n=\sin\frac{\pi}{2^{n+1}},\forall n\geq 1$.