Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh $(XYZ)$ đi qua trung điểm $HM$

nvl

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-01-2022 - 22:59

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$. $M$ là điểm chính giữa $\widehat{BAC}$ của $(O)$, $P$ thuộc $HM$ sao cho $OP$ $//$ $AM$. $X, Y, Z$ là hình chiếu của $P$ lên các cạnh của $\Delta ABC$. Chứng minh $(XYZ)$ đi qua trung điểm $HM$.



#2 Gia Cat Minh

Gia Cat Minh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:VNG

Đã gửi 09-01-2022 - 11:56

$P$ chỉ cần thuộc đường qua $O$ song song với $AM$ thì bài toán vẫn đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gia Cat Minh: 10-01-2022 - 12:15


#3 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1463 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-01-2022 - 20:24

Bổ đề: Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. $M,N$ là điểm chính giữa cung nhỏ, lớn $BC$. Điểm $P$ thuộc $HM$ sao cho $OP//AM$. $Q$ là điểm đối xứng với $N$ qua $BC$ thì $P,Q$ liên hợp đẳng giác trong $\Delta ABC$.

Screenshot (401).png

Chứng minh:

Gọi $Z$ là giao điểm hai tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$, $J$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$, $T$ là giao điểm của $OC$ và $AM$, $AD$ là đường kính của $(O)$.

Ta cần chứng minh: $\angle OPZ=90^{\circ}$

Ta có: $\angle AMD=90^{\circ}$ mà $OP//AM$ nên $OP$ vuông góc với $MD$ tại $G$

Dễ có rằng $AH=2OL$ và $\Delta AHM\sim\Delta OMP(g.g)\Rightarrow OP=\frac{OM.AM}{AH}=\frac{OZ.OG}{OM}$ (Do $OM^2.AM=OB^2.AM=OL.OZ.AM=\frac{AH}{2}.OZ.2OG=AH.OZ.OG$)

$\Rightarrow \frac{OM}{OZ}=\frac{OG}{OP}\Rightarrow MG//ZP$ nên $\angle OPZ=90^{\circ}$

Vậy ta có $P$ thuộc $(BOC)$

$\Rightarrow \angle PBC+\angle QBA=\angle POC+\angle ABC+\angle QBC=\angle MTC+\angle ABC+\angle QBC=180^{\circ}-\angle TMC-\angle TCM+\angle ABC+\angle QBC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle NBC+\angle ABC+\angle QBC=180^{\circ}$

Tương tự thì: $\angle PCB+\angle QCB=180^{\circ}$ nên $P,Q$ liên hợp đẳng giác trong $\Delta ABC$

Vậy bổ đề được chứng minh.

Quay lại bài toán

Screenshot (400).png

Gọi $L$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$ và $Q$ đối xứng với $L$ qua $BC$ thì theo bổ đề: $P,Q$ liên hợp đẳng giác trong $\Delta ABC$. Từ $Q$ kẻ $QW,QS,QR$ vuông góc với $BC,CA,AB$

Vì $P, Q$ liên hợp đẳng giác nên sáu điểm $X,Y,Z,W,R,S$ đồng viên

Ta có: $MQ=WQ-MW=LW-WM=LM-2MW=2OM-2WM=2OW=AH$ kết hợp với $AH//MQ$ suy ra $AHQM$ là hình bình hành nên nếu gọi $I$ là trung điểm của $HM$ thì $I$ cũng là trung điểm của $AQ$

Hay nói cách khác ta cần chứng minh $R,I,W,S$ đồng viên

Thật vậy, sử dụng các tứ giác nội tiếp $BWQR,QWCS$ ta có: $\angle RWS=\angle RWQ+\angle SWQ=\angle RBQ+\angle SCQ=180^{\circ}-\angle RQB-\angle SQC=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle BQC-\angle BAC)=2\angle BAC$

và $\angle RIS=2\angle RAI+2\angle SAI=2\angle BAC$

Bài toán được chứng minh hoàn toàn.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh