Đến nội dung


Hình ảnh

$(k,p-1)=1$ thì $a^{k}\equiv b^{k} \Leftrightarrow a \equiv b (\mod p)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Explorer

Explorer

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 11-01-2022 - 20:24

Cho $a,b,k \in \mathbb{N} \geq 1$ và $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng

với $(k,p-1)=1$ thì $a^{k}\equiv b^{k} \Leftrightarrow a \equiv b (\mod p)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-01-2022 - 22:32
Tiêu đề + LaTeX


#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 12-01-2022 - 11:46

Dễ thấy $a\equiv b(\bmod p)\Rightarrow a^k\equiv b^k(\bmod p)$.

Xét $a^k\equiv b^k(\bmod p)$. Ta sẽ chứng minh $a\equiv b(\bmod p)$.

Thật vậy, nếu $p\mid b$ thì $p\mid a$. 

Nếu $(b,p)=1$ thì theo định lý Bezout, tồn tại $x,y\in\mathbb Z$ sao cho $a=xp+yb$.

Khi đó $a^k\equiv (yb)^k\equiv y^kb^k(\bmod p)$.

Suy ra $y^kb^k\equiv b^k(\bmod p)$.

Lại có $(b^k,p)=1$ nên $y^k\equiv 1(\bmod p)$.

Đặt $t=\text{ord}_p(y)$ thì $t\mid k$ và $t\mid p-1$.

Mà $(k,p-1)=1$ nên $t=1$.

Từ đó $y\equiv 1(\bmod p)$ hay $a=xp+b\equiv b(\bmod p)$.

Vậy ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 12-01-2022 - 11:46





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh