Đến nội dung


Hình ảnh

Phạm trù motive hình học effective, đối đồng điều motivic và K-lý thuyết đại số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1573 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic cohomology and the theory of motives

Đã gửi 15-01-2022 - 03:28

Lý thuyết motives xuất hiện để đưa ra lời giải cho việc hợp nhất hai loại lý thuyết đối đồng điều: đối đồng điều thuộc kiểu bất biến hình học-đại số và đối đồng điều thuộc kiểu bất biến siêu việt. Lớp thứ nhất có thể kể tới nhóm Chow và Quillen K-lý thuyết trong khi đó nhóm thứ hai có thể kể tới đối đồng điều Betti và đối đồng điều $l$-adic. Đối đồng điều thuộc loại thứ nhất thường abel và không thể tính toán, Deligne và Beillinson là những người đầu tiên tin rằng nếu đi theo các đối đồng kiểu bất biến hình học-đại số thì sẽ dễ hơn loại thứ hai. Có ba lý thuyết motives tương đương xây dựng bởi Hanamura, Levine và Voevodsky nhưng xây dựng của Voevodsky được cho là đẹp nhất. Những xây dựng đầu tiên của Grothendieck của các Chow motives được cải thiện và trình bày trong một cuốn sách của Levine, ở đây họ xây dựng các phạm trù effective Chow motives theo kiểu đồng điều $M^{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ và theo kiểu đồng điều $M_{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ chủ yếu dựa vào chu trình đại số và tương đương hữu tỷ nhưng tương đương hữu tỷ làm mất nhiều thông tin và xây dựng này gặp nhiều trục trặc kĩ thuật. Trong bài viết này mình sẽ trình bày xây dựng của Voevodsky vốn được xem là một cải thiện xây dựng cho $M^{eff}$ và phiên bản cải thiện của chính Voevodsky dựa trên lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân, điều đáng kể của phiên bản đơn giản hóa của xây dựng của Voevodsky là nó làm việc được trên mọi lược đồ nền.

 

Mình sẽ trình bày phiên bản đơn giản của phiên bản đầu của Voevodsky trước. Sau đó mình sẽ định nghĩa đối đồng điều motivic dựa trên đồng điều Suslin và trình bày một số tính chất của nó.

 

Ý tưởng của lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân là thay thế đoạn đơn vị $[0,1]$ trong topo bởi đường thẳng affine $\mathbb{A}^1 = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t])$. Trong lý thuyết đối đồng điều kì dị và một số loại đối đồng điều cho đa tạp đại số ta biết có tính chất $H^{*}(X) \cong H^*(X \times \mathbb{A}^1)$, đây gọi tính $\mathbb{A}^1$--đồng luân và nó luôn đóng vai trò chủ chốt trong mọi xây dựn, một lý thuyết đối đồng điều thường được biểu diễn bởi hàm tử hom trong một phạm trù tam giác hợp lý (hãy nghĩ điều này trong phiên bản topo với định lý biểu diễn Brown). Lấy ví dụ nếu $T$ là một không gian topo, khi đó đối đồng điều bó với hệ số trong một nhóm abel $A$ có thể biểu diễn theo hai cách

$$H^n(T,A) = \mathrm{Ext}^n_{\mathbf{Sh}(T,\mathbf{Ab}) }(\mathbb{Z}_T,A_T) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{D}(\mathbf{Sh}(T,\mathbf{Ab}))}(\mathbb{Z}_T,A_T[n]),$$

trong đó $G_T$ là bó hằng với giá trị tại một nhóm abel $G$ và $\mathbf{D}$ là phạm trù dẫn suất.

 

$\mathbb{A}^1$-địa phương hóa. Cho $R$ là một vành giao hoán có đơn vị, với mỗi tập $E$ ta kí hiệu $R \otimes E$ bởi $R$-module tự do với một cơ sở là $E$. Cho $S$ là một lược đồ bất kì, ta kí hiệu $Sm/S$ bởi phạm trù các lược đồ trơn trên $S$ và trang bị cho $Sm/S$ topo étale. Kí hiệu $\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)$ bởi phạm trù các bó étale trên small étale site $Sm/S$ với giá trị trong $\mathrm{Mod}_R$-phạm trù các $R$-module. Với mỗi $X \in \mathrm{obj}(Sm/S)$ ta có một hàm tử

$$\begin{align*} R_{ét}: Sm/S & \to \mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \\ X & \mapsto \left \{ U \mapsto R \otimes \mathrm{Hom}_S(U,X) \right \} \end{align*}$$

Phạm trù $\mathbf{Sh}(Sm/S;R)$ được trang bị một cấu trúc tensor: nếu $\mathcal{F},\mathcal{G}$ là hai bó etale thì $\mathcal{F} \otimes_R \mathcal{G}$ là bó hóa của tiền bó $U \mapsto \mathcal{F}(U) \otimes_R \mathcal{G}(U)$. Giờ để làm đối đồng điều ta xét phạm trù dẫn xuất $\mathbf{D}(\mathbf{Sh}(Sm/S;R))$ và sau đó để "áp đặt" tính $\mathbb{A}^1$-đồng luân ta ký hiệu $\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$ bởi phạm trù tam giác con nhỏ nhất đóng bởi tổng trực tiếp và chứa tất cả các phức dạng

$$[... \to R_{ét}(\mathbb{A}^1 \times U) \to R_{ét}(U) \to 0 \to ...],$$

trong đó $U$ là một $S$-lược đồ trơn. Lưu ý với mỗi $U$ ta có vô hạn phức như trên tùy vào cách đặt bậc, lý do là ta "nên" có $H^*(X) \cong H^*(X \times [0,1])$ tại mọi bậc.

 

Định nghĩa. Ta định nghĩa các $S$-motive effective $\mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)$ là phạm trù $\mathbf{D}(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))/\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$, ở đây ta lấy thương Verdie, về mặt các vật thì nó có cùng các vật với $\mathbf{D}(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))$ nhưng khi chuyển vào phạm trù thương thì mọi vật của $\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$ đẳng cấu với $0$. Với mỗi $S$-lược đồ trơn $X$, ký hiệu $M^{eff}(X)$ bởi ảnh của $X$ qua hợp thành

$$Sm/S \overset{R_{ét}}{\rightarrow} \mathbf{Sh}(Sm/S;R) \to \mathbf{D}( \mathbf{Sh}(Sm/S;R  ) ) \to \mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R),$$

và ta gọi $M^{eff}(X)$ là motive đối đồng điều effective của $X$.

 

Lấy động lực từ đối đồng điều $l$-adic (đoạn này mình cũng không rõ vì từ trước tới giờ chỉ mới đụng tới đối đồng điều étale) ta sẽ địa phương hóa phạm trù $\mathbf{DA}^{eff,ét}$ theo motive Lefschetz $L = R_{ét}(\mathbb{P}^1_S,\infty_S)$. Ta định nghĩa ổn định hóa naive (naive stabilization) $\mathbf{DA}^{naive,ét}$ bởi

$$\mathbf{DA}^{naive,ét}(S;R) = \mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)[L^{-1}],$$

trong đó một vật là một cặp $(M,m)$ với $M \in \mathrm{obj}(\mathbf{DA}^{eff,ét})$ và $m \in \mathbb{Z}$. Cấu xạ được cho bởi

$$\mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{naive,ét}(S;R)}((M,m),(N,n)) = \underset{\underset{r \geq -\mathrm{min}(m,n)}{\longrightarrow}}{\lim} \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)}(M \otimes L^{r+m}, N \otimes L^{r+n}).$$

(ta sẽ gặp lại xây dựng này trong phiên bản đầu tiên của Voevodsky). Phạm trù $\mathbf{DA}^{naive,ét}$ được tin là đủ tốt để trở thành định nghĩa của phạm trù $S$-motive, tuy nhiên nó gặp nhiều vấn đề kĩ thuật; ví dụ đơn giản nhất là nó không phải phạm trù tam giác.

 

$L$-phổ và đối đồng điều étale motivic. Ta vẫn giữ nguyên ký hiệu $L = R_{ét}(\mathbb{P}^1_S;\infty_S)$, một $L$-phổ của các bó é tale trên $Sm/S$ là một dãy các bó étale $\mathcal{E}=(\mathcal{E}_n)$ ($n \in \mathbb{N})$ và một dãy các đẳng cấu mà ta gọi là các assembly map, $\gamma_n: L \otimes \mathcal{E}_n \to \mathcal{E}_{n+1}$. Ta định nghĩa cấu xạ giữa hai $L$-phổ theo cách hiển nhiên tương thích với các assembly map và ký hiệu $\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))$ bởi phạm trù các $L$-phổ.

 

Hàm tử

$$\begin{align*} \mathrm{Ev}_p: \mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)) & \to \mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \\ ((\mathcal{E}_n),(\gamma_n)) & \mapsto \mathcal{E}_n \end{align*}$$ gửi mỗi phổ $((\mathcal{E}_n),(\gamma_n))$ tới bậc thứ $p$ của nó có một hàm tử liên hợp được ký hiệu bởi

$$\mathrm{Sus}^p_L: \mathrm{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \to \mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)).$$

Ta ký hiệu $\mathrm{Sus}^0_L$ bởi $\Sigma^{\infty}_L$. Như thường lệ, ta xét $\mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))$ là phạm trù dẫn xuất của phạm trù các $L$-phổ, ký hiệu $\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1-st}$ bởi phạm trù tam giác con nhỏ nhất của $\mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))$ mà đóng với phép lấy tổng trực tiếp tùy ý đồng thời chứa tất cả các phức dạng

$$[... \to 0 \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(\mathbb{A}^1 \times U) \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(U) \to 0 \to ... ],$$

$$[... \to 0 \to \mathrm{Sus}^{p+1}_L R_{ét}(L \otimes U) \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(U) \to 0 \to ...].$$

Định nghĩa. Ta định nghĩa phạm trù các bó motivic trên $S$ (hoặc đơn giản, các $S$-motive), ký hiệu $\mathbf{DA}^{ét}(S;R)$, bởi công thức

$$\mathbf{DA}^{ét}(S;R) = \mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))/\mathbf{T}_{\mathbb{A}^1-st}.$$

Với mỗi $S$-lược đồ trơn $S$, thì $\Sigma_L^{\infty}R_{ét}(X)$ xem như một vật của $\mathbf{DA}^{ét}(S;R)$ được gọi là motive đồng điều của $X$ và sẽ được ký hiệu bởi $M(X)$.

 

Định nghĩa. (đối đồng điều étale motivic) Ta định nghia các Tate motive $R_S(p)$ bởi công thức $R_S(p) = \mathrm{Sus}^0_L(L^{\otimes p})[-2p]$ và định nghĩa

$$H^p_{\mathcal{L}}(S;R(p)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{ét}(S;R)}(R(0), R(q)[p]),$$

với mọi $p,q \in \mathbb{Z}$. Các nhóm này được gọi là đối đồng điều étale motivic của lược đồ $S$.

 

Định nghĩa. (nhóm Chow étale) Cho $k$ là một trường, $X$ là một đa tạp trơn trên $k$. Ta định nghĩa nhóm Chow étale của $X$ bởi

$$\mathrm{CH}^{2n}_{ét}(X) = H^{2n}_{\mathcal{L}}(X;\mathbb{Z}(n)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{ét}(k;\mathbb{Z})}(M(X),\mathbb{Z}(n)[2]).$$

Rosenschon và Srinivas xây dựng một cấu xạ chu trình khi $k = \mathbb{C}$, $\mathrm{CH}_{ét}^{2n}(X) \to H^{2n}(X(\mathbb{C});\mathbb{Z})$ và chứng minh rằng nếu giả thuyết Hodge đúng cho nhóm Chow hữu tỷ $\mathrm{Ch}^*(X) \otimes \mathbb{Q}$ thì nó đúng cho nhóm Chow étale với hệ số trên $\mathbb{Z}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-01-2022 - 05:37

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1573 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic cohomology and the theory of motives

Đã gửi 15-01-2022 - 18:20

Trong bài này mình sẽ trình bày phạm trù các motive hình học effective, để làm vậy ta nhắc lại một số khái niệm trong lý thuyết giao (intersection theory) như chu trình đại số, tương ứng hữu hạn (finite correspondence),... Ta cố định $k$ là một trường, $Sm/k$ là phạm trù các $k$-lược đồ trơn, $Sch/k$ là phạm trù các $k$-lược đồ.

 

Chu trình đại số. Cho $X \in \mathrm{obj}(Sch/k)$, ký hiệu $z_r(X) = \bigoplus \mathbb{Z}.Z$ trong đó $Z$ là một lược đồ con đóng nguyên trên $k$, chiều $r$. Ký hiệu $z_*(X) = \bigoplus_{r \geq 0}z_r(X)$. Một phần tử của $z_*(X)$ được gọi là một chu trình đại số.

 

Chu trình cảm sinh và giá. Cho $W \subset X$ là một lược đồ con đóng sao cho tất cả các thành phần bất khả quy $W_1,...,W_r$ có chiều $n$. Chu trình đại số cảm sinh bởi $W$ được định nghĩa bởi

$$\left |W \right| = \sum_{i=1}^r \mathrm{length}_{\mathcal{O}_{X,W_i}}(\mathcal{O}_{W,W_i})W_i,$$

trong đó $\mathrm{length}$ là độ dài của một module, ở đây khi viết $\mathcal{O}_{X,W_i}$ ta đồng nhất nó với $\mathcal{O}_{X,\eta}$ trong đó $\eta$ là điểm generic của $W_i$. Cho $D$ là một ước Cartier trên $X$ và $Z \subset X$ là một lược đồ con đóng nguyên, ta định nghĩa tích giao $D \cdot Z$ bởi

$$D \cdot Z = \left | D \times_X Z \right|.$$

Ký hiệu $z_n(X)_D \subset z_n(X)$ là nhóm abel tự do sinh bởi các lược đồ con đóng nguyên $Z$ sao cho $Z \nsubseteq D$.

 

Định nghĩa. Cho $X \in \mathrm{obj}(Sch/k)$, hai chu trình $Z, Z' \in z_n(X)$ được gọi là tương đương hữu tỷ nếu tồn tại một chu trình $\mathcal{Z} \in z_{n+1}(X \times \mathbb{A}^1_k)_{X \times 0+ X \times 1}$ sao cho

$$Z - Z' = (X \times 0 - X \times 1) \cdot \mathcal{Z}.$$

Nhóm Chow thứ $n$ được định nghĩa bởi $\mathrm{CH}_n(X) = z_n(X)/\text{tương đương hữu tỷ}.$

 

Tương ứng. Một phần tử của $\mathrm{CH}_*(X \times Y)$ được gọi là một tương ứng từ $X$ tới $Y$. Nếu $X, Y$ và $Z$ là các được đồ trơn, xạ ảnh thì ta có thể định nghĩa phép hợp thành

$$\beta \circ \alpha = p_{XZ*}(p_{XY}^*(\alpha) \cdot p_{YZ}^*(\beta)),$$

trong đó $p_{XY}: X \times Y \times Z \to X \times Y$ là phép chiếu.

 

Tương ứng hữu hạn. Cho $X, Y \in \mathrm{obj}(Sch/k)$. Nhóm $c(X,Y)$ là nhóm con của $z(X \times_k Y)$ sinh bởi các lược đồ con đóng nguyên $W \subset X \times_k Y$ sao cho:

 

i) $p_1:W \to X$ là hữu hạn;

ii) $p_1(W)$ là một thành phần bất khả quy của $W$.  

 

Các phần tử của $c(X,Y)$ được gọi là các tương ứng hữu hạn từ $X$ tới $Y$.

 

Mình không thực sự hiểu ý nghĩa của finite correspondence, ngay cả correspondence cũng vậy. Theo như wiki thì correspondence là một quan hệ định nghĩa bởi các phương trình đại số. Nhưng để hiểu tại sao nó lại được dùng để định nghĩa cấu xạ của phạm trù motive hình học thì mình vẫn chưa hiểu. Tính finite ở đây trong finite correspondence mang tính kỹ thuật nhiều hơn, được Voevdosky đưa ra nhằm mở rộng lớp các đa tạp có thể lấy hợp thành được. Tương tự như correspondence ta định nghĩa hợp thành bởi

$$W' \circ W = p_{XZ*}^S(p^*_{XY}(W) \cdot p^*_{YZ}(W')),$$

trong đó $W \in c(X,Y), W' \in c(Y,Z)$ và $X,Y,Z \in \mathrm{obj}(Sm/k)$, $S = \mathrm{supp}(W) \times Z \cap  X \times \mathrm{supp}(W')$ và $p_{XZ}^S: S \to X \times Z$ là phép chiếu cảm sinh bởi $p_{XZ}$.

 

Câu hỏi. Có cách nào nhìn trực giác được công thức trên thỏa mãn luật kết hợp của phép hợp thành cấu xạ không?

 

Ví dụ. Ở đây ta sẽ tính toán thử một ví dụ về correspondence để "lấy cảm giác", cho $x$ là một điểm đóng trong $X$, xét lược đồ nền là $S = \mathrm{Spec}(k)$. Ta xem $x$ như correspondence $S \times x \in \mathrm{Cor}(S,X)$ và cấu xạ cấu trúc $X \to S$ như correspondence $X \times S \in \mathrm{Cor}(S,X)$. Tích giao của chúng theo định nghĩa là $[S \times x] \cdot [X \times S] = [S \times x \times S]$. Ta khẳng định rằng hợp thành của hai correspodence này $S \to X \to S$ là một correspondence $\mathrm{Cor}(S,S)$ ứng với đồng cấu nhân với $[k(x):k]$. Thực vậy ta cần tính đẩy xuôi của $p: S \times x times S \to S \times S$. Sử dụng đẳng cấu $S \times x \times S \cong S \times x, S \times S \cong S$ ta suy ra $p$ dẳng cấu với $S \times x \to S$, cấu xạ này hiển nhiên có bậc $[k(x):k]$ vì nó chỉ là base change từ $S = \mathrm{Spec}(k)$ sang $\mathrm{Spec}(k \otimes k(x))$.

 

Ta định nghĩa phạm trù $\mathrm{Cor}(k)$ có vật là các lược đồ trơn và cấu xạ cho bởi $\mathrm{Hom}_{\mathrm{cor}}(X,Y) = c(X,Y)$ với mọi $X,Y \in \mathrm{obj}(Sm/k)$. Tích thớ trên $k$ cho ta một cấu trúc tensor trên $\mathrm{Cor}(k)$. Ngoài ra ta có hàm tử $Sm/k \to \mathrm{Cor}(k)$ gửi mỗi vật vào chính nó và một cấu xạ $f : X\to Y$ tới đồ thị $\Gamma_f$ của nó, ta viết ảnh của một vật $X$ qua hàm tử này bởi $[X]$ và ảnh một cấu xạ $f$ bởi $f_*$. Xét phạm trù đồng luân các phức bị chặn $K^b(\mathrm{Cor}(k))$.

 

Định nghĩa. Phạm trù $\widehat{\mathbf{DM}}^{eff}_{gm}(k)$ được định nghĩa là địa phương hóa của $K^b(\mathrm{Cor}(k))$ bằng cách nghịch đảo các cấu xạ sau:

 

i) Với mọi $X \in \mathrm{obj}(Sm/k)$, $p_*: [X \times \mathbb{A}^1_k] \to [X]$;

ii) Với mọi $X \in \mathrm{obj}(Sm/k)$ và một cặp tập mở $U, V \subset X$ sao cho $X = U \cup V$ thì ta nghịch đảo $\mathrm{cone}([U \cap V] \to [U] \oplus [V]) \to [X]$.

Điều kiện thứ nhất để sinh ra tính $\mathbb{A}^1$-đồng luân, điều kiện thứ hai cho ta dãy Mayer-Vietoris. Phạm trù các motive hình học effective $\widehat{\mathbf{DM}}^{eff}_{gm}(k)$ được định nghĩa là giả abel envelope của $\widehat{\mathbf{DM}}^{eff}_{gm}(k)$.

 

Tương tự như trên, ta có một hàm tử $Sm/k \to \mathbf{DM}^{eff}_{gm}(k)$ gửi mỗi lược đồ trơn $X$ tới chính nó, mà ta ký hiệu bởi $M(X)$; và gửi một cấu xạ tới đồ thị của nó. Như trong bài viết trước, ta cần nghịch đảo motive Lefschetz, cụ thể, ta xét Tate motive

$$\mathbb{Z}(1) = \mathrm{Cone}(p_*:[X] \to [\mathrm{Spec}(k)])[-1][2],$$

và đặt $\mathbb{Z}(n) = \mathbb{Z}(1)^{\otimes n}.$ Phạm trù các motive hình học $\mathbf{DM}_{gm}(k)$ được định nghĩa là địa phương hóa của $\mathbf{DM}_{gm}^{eff}(k)$ theo các Tate motive $\mathbb{Z}(n)$.

 

Ở đây mình định nghĩa một cách tricky (dựa trên một định lý) đồng điều Suslin.

 

Định nghĩa (đồng điều Suslin+đối đồng điều motivic) Đồng điều Suslin $H^{Sus}_i(X)$ của một lược đồ trơn $X$ được định nghĩa bởi

$$H^{Sus}_i(X) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{eff}_{gm}}\left(\mathbb{Z}[i], M_{gm}(X) \right).$$

Đối đồng điều motivic là phiên bản xoắn + phản biến của đồng điều Suslin

$$H^p(X,\mathbb{Z}(q)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{eff}_{gm}} \left(M_{gm}(X), \mathbb{Z}(q)[p] \right).$$

Dưới đây là một số tính chất đối đồng điều motivic.

Tồn tại tích cup .$H^p(X,\mathbb{Z}(q)) \otimes H^{p'}(X,\mathbb{Z}(q')) \to H^{p+p'}(X,\mathbb{Z}(q+q'))$ bằng cách gửi $a \otimes b$ thông qua dãy hợp thành

$$M_{gm}(X) \overset{\delta}{\rightarrow} M_{gm}(X) \otimes M_{gm}(X) \overset{a \otimes b}{\rightarrow} \mathbb{Z}(q)[p] \otimes \mathbb{Z}(q')[p'] \cong \mathbb{Z}(q+q')[p+p'].$$

Thỏa mãn tính $\mathbb{A}^1$-đồng luân, i.e. $p^*: H^p(X,\mathbb{Z}(q)) \overset{\sim}{\rightarrow} H^p(X \times \mathbb{A}^1_k,\mathbb{Z}(q)).$

 

Dãy Mayer-Vietoris. Nếu $U, V \subset X$ là hai tập mở thì ta có dãy Mayer-Vietoris:

$$... \to H^{p-1}(U \cap V, \mathbb{Z}(q)) \to H^p(U \cup V, \mathbb{Z}(q)) \to H^p(U,\mathbb{Z}(q)) \oplus H^p(V,\mathbb{Z}(q)) \to H^p(U\cap V, \mathbb{Z}(q)) \to ...$$

Recover lại một số đối đồng điều cổ điển.Ví dụ $H^1(X,\mathbb{Z}(1))= \Gamma(X,\mathcal{O}_X^{*}), H^2(X,\mathbb{Z}(1)) = H^1(X,\mathcal{O}_X^*)$ và do đó ta có thể định nghĩa lớp Chern của một phân thớ đường $L$ bởi phần tử $[L]$ tương ứng trong $H^2(X,\mathbb{Z}(1))$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 15-01-2022 - 22:20

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1573 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic cohomology and the theory of motives

Đã gửi 16-01-2022 - 20:14

Trong post này mình sẽ định nghĩa một số phạm trù đồng luân ổn định được dùng trong hình học đại số, sau đó formulate $K$-lý thuyết đại số theo ngôn ngữ motivic.Trong bài viết này, $k$ là một trường và $Sm/k$ là phạm trù các $k$-lược đồ trơn, of finite type và tách được.

Topo Nisnevich. Cho $X \in \mathrm{obj}(Sm/k)$, một phủ Nisnevich $\mathcal{U} \to X$ là một cấu xạ étale sao cho với mọi mở rộng $F$ hữu hạn sinh như một $k$-đại số, tách được thì ánh xạ trên các $F$-điểm $\mathcal{U}(F) \to X(F)$ là một toàn cấu. Với phủ Nisnevich ta có thể định nghĩa một small Nisnevich site trên $Sm/k$ cũng như $X_{Nis}$.

Trong bài viết này về sau, khi nói một không gian, ta ám chỉ một phần tử trong
$$\mathrm{Spc}(k) = \mathbf{Sh}_{Nis}(Sm/k,\mathbf{Sets}^{\Delta^{op}}).$$
Nói cách khác, một không gian là một bó trên $Sm/k$ (cùng topo Nisnevich) lấy giá trị trong phạm trù các tập đơn hình.

Định nghĩa. Một điểm trong một không gian $X$ là một cấu xạ $\mathrm{Spec}(k) \to X$ trong đó $\mathrm{Spec}(k)$ xem như một bó biểu diễn được với cấu trúc đơn hình là hằng. Nếu $X$ là một không gian thì ta ký hiệu $X_{+}$ bởi không gian định điểm $X \coprod \mathrm{Spec}(k)$ và $\mathrm{Spc}_{\bullet}(k)$ là phạm trù các không gian định điểm. Ta viết $\mathbb{P}^1$ để hiểu không gian định điểm $(\mathbb{P}^1_k,\infty_k)$.

Phạm trù $\mathrm{Spc}_{\bullet}$ là một phạm trù tensor với cấu trúc monoid cho bởi tích smash $U \mapsto X(U) \wedge Y(U)$ và vật đơn vị chính là $\mathrm{Spec}(k)_+$.

$\mathbb{P}^1$-phổ và nhóm đồng luân ổn định. Một $\mathbb{P}^1$-phổ $E$ là một dãy các không gian định điểm $(E_n)_{n\geq 0}$ cùng với các cấu xạ cấu trúc $\mathbb{P}^1 \wedge E_n \to E_{n+1}$. Một cấu xạ giữa hai phổ là các cấu xạ theo từng bậc và tương thích với cấu xạ cấu trúc. Phạm trù $\mathrm{Spt}_{\mathbb{P^1}}(k)$ có vật là các $\mathbb{P}^1$-phổ và cấu xạ định nghĩa theo cách tự nhiên.

Ví dụ. 1) $\mathbb{P}^1$-phổ treo của một không gian định điểm $X$, ký hiệu $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^{\infty}X$ là phổ $(\mathbb{P}^1)^{\wedge n} \wedge X$ và các cấu xạ cấu trúc là cấu xạ đồng nhất.
2) Nếu $E$ là một $\mathbb{P}^1$-phổ và $X$ là một không gian định điểm thì ta có phổ mới $(E \wedge X)_n = E_n \wedge X$.

Định nghĩa (nhóm đồng luân ổn định). Cho $(X,x)$ là một không gian định điểm và $n \geq 1$, ta xét tiền bó $U \mapsto \pi_n(X(U), x_{\mid U}),$ trong đó $x_{\mid U}$ là ảnh của $x$ trong $X(U)$. Bó hóa của tiền bó này được ký hiệu bởi $\pi_n(X,x)$. Khi $n \geq 2$ thì đây là một bó các Nisnevich các nhóm abel. Bây giờ cho $(E_n)_{n \geq 0}$ là một $s$-phổ và $m > n$ là các số nguyên, ta xét dãy
$$\pi_{n+m}(E_m) \to \pi_{n+m+1}(S^1_s \wedge E_m) \to \pi_{n+m+1}(E_{m+1}) \to \cdots,$$
và định nghĩa bó các nhóm đồng luân ổn định của $E$ bởi $\pi_n^s(E) = \underset{m > n}{\mathrm{colim}} \pi_{n+m}(E_m).$ Hiển nhiên một cấu xạ giữa hai $s$-phổ cho ta cấu xạ trên các nhóm đồng luân ổn định và do đó ta có thể định nghĩa khái niệm đồng luân yếu giống như trong setting thông thường.

Định nghĩa. Phạm trù $\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)$ được định nghia là phạm trù $\mathrm{Spt}(k)$ sau khi nghịch đảo tất cả các đồng luân yếu.

Phạm trù đồng luân $\mathbb{P}^1$-ổn định motivic. Một $\mathbb{P}^1$-phổ được gọi là $\mathbb{A}^1$-địa phương nếu với mọi $U \in \mathrm{obj}(Sm/k)$, $n \in \mathbb{N}$ thì cấu xạ cảm sinh bởi phép chiếu $U \times \mathbb{A}^1 \to U$ là một đẳng cấu
$$\mathrm{Hom}_{\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)}(\Sigma_{\mathbb{P}^1}^{\infty}(U \times \mathbb{A}^1)_{+},\Sigma^n_{\mathbb{P}^1}F) \overset{\cong}{\leftarrow} \mathrm{Hom}_{\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)}(\Sigma_{\mathbb{P}^1}^{\infty}U_{+},\Sigma^n_{\mathbb{P}^1}F).$$
Ta nói một cấu xạ của hai $\mathbb{P}^1$-phổ $E \to F$ là $\mathbb{A}^1$-đồng luân yếu nếu với mọi $\mathbb{P}^1$-phổ $\mathbb{A}^1$-địa phương $E'$ tồn tại đẳng cấu chính tắc
$$\mathrm{Hom}_{\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)}(E',F) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}(k)}(E,E').$$
Định nghĩa. Phạm trù đồng luân $\mathbb{P}^1$-ổn định motivic $\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}^{\mathbb{A}^1}(k)$ được định nghĩa là phạm trù $\mathrm{Spt}(k)$ sau khi nghịch đảo tất cả các $\mathbb{A}^1$-đồng luân yếu.

Như vậy ta có bổ đề hiển nhiên sau.

Bổ đề. Trong $\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}^{\mathbb{A}^1}(k)$ thì $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ cảm sinh $\mathbb{A}^1$-đồng luân yếu của các $\mathbb{P}^1$-phổ. Nói riêng, $\Sigma^{\infty}_{\mathbb{P}^1}(\mathbb{A}^1,0)$ là co rút được (contractible). Hàm tử treo $\mathbb{P}^1 \wedge \square$ là một tự tương đương của phạm trù $\mathrm{SH}_{\mathbb{P}^1}^{\mathbb{A}^1}(k)$.

Bây giờ ta đã đủ công cụ để formulate $K$-lý thuyết đại số, ta nhắc lại rằng nhóm $K$-lý thuyết topo $K^n$ được biểu diễn bởi $\mathbb{Z} \times BU(n)$ trong đó $BU(n)$ là không gian phân loại của nhóm unita $U(n)$ và $BU(n)$ còn có biểu diễn khác là Grassmanian $Gr(n,\mathbb{C}^{\infty})$. Một cách hiển nhiên ta phải đụng tới Grassmanian ở đây. Với $m,n$ không âm ta xét Grassmanian của các không gian vector $n$ chiều trong không gian $(n+m)$ chiều bởi $Gr(n,\mathbb{A}^{n+m})$ và cho $n$ tới vô cùng ta thu được một directed system, gọi giới hạn của hệ này là $BGL(n)$. Các không gian phân loại này lại lập này một hệ
$$...\hookrightarrow BGL_n \hookrightarrow BGL_{n+1} \hookrightarrow ....,$$
và ta ký hiệu $BGL$ bởi đối giới hạn của hệ này. Trong lý thuyết đơn hình ta có một hàm tử gọi là "thay thế fibrant" $Ex^{\infty}$ có tính chất là nếu $X$ là một tập đơn hình định điểm thì $X \subset Ex^{\infty}X$ là một đồng luân yếu và $Ex^{\infty}X$ là fibrant, tức là có tính chất nâng với mọi horn. Ký hiệu $KGL = Ex^{\infty}(\mathbb{Z} \times BGL)$. Voevodsky trong IMC talk năm 98 viết rằng lý do ông lấy thay thế fibrant vì ông muốn định nghĩa một cấu xạ cấu trúc $\mathbb{P}^1 \wedge (\mathbb{Z} \times BGL) \to \mathbb{Z} \times BGL$ thì cách duy nhất mà ông biết là định nghĩa nó trong phạm trù đồng luân và nói rằng mọi cấu xạ trong phạm trù đồng luân với giá trị là vật fibrant thì có thể nâng lên phạm trù các không gian. Như vậy ta có một cấu xạ cấu trúc $\mathbb{P}^1 \wedge KGL \to KGL$.

Định nghĩa. Phổ của $K$-lý thuyết đại số được định nghĩa bởi $\mathbf{KGL}=(KGL,KGL,..,KGL,...)$ cùng với cấu xạ cấu trúc $\mathbb{P}^1 \wedge KGL \to KGL.$ Ta có một đẳng cấu $\mathbb{P}^1 \wedge \mathbf{KGL} = \mathbf{KGL}$ và gọi đây là định lý tuần hoàn Bott cho $K$-lý thuyết đại số.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-01-2022 - 18:56

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh