Lý thuyết motives xuất hiện để đưa ra lời giải cho việc hợp nhất hai loại lý thuyết đối đồng điều: đối đồng điều thuộc kiểu bất biến hình học-đại số và đối đồng điều thuộc kiểu bất biến siêu việt. Lớp thứ nhất có thể kể tới nhóm Chow và Quillen K-lý thuyết trong khi đó nhóm thứ hai có thể kể tới đối đồng điều Betti và đối đồng điều $l$-adic. Đối đồng điều thuộc loại thứ nhất thường abel và không thể tính toán, Deligne và Beillinson là những người đầu tiên tin rằng nếu đi theo các đối đồng kiểu bất biến hình học-đại số thì sẽ dễ hơn loại thứ hai. Có ba lý thuyết motives tương đương xây dựng bởi Hanamura, Levine và Voevodsky nhưng xây dựng của Voevodsky được cho là đẹp nhất. Những xây dựng đầu tiên của Grothendieck của các Chow motives được cải thiện và trình bày trong một cuốn sách của Levine, ở đây họ xây dựng các phạm trù effective Chow motives theo kiểu đồng điều $M^{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ và theo kiểu đồng điều $M_{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ chủ yếu dựa vào chu trình đại số và tương đương hữu tỷ nhưng tương đương hữu tỷ làm mất nhiều thông tin và xây dựng này gặp nhiều trục trặc kĩ thuật. Trong bài viết này mình sẽ trình bày xây dựng của Voevodsky vốn được xem là một cải thiện xây dựng cho $M^{eff}$ và phiên bản cải thiện của chính Voevodsky dựa trên lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân, điều đáng kể của phiên bản đơn giản hóa của xây dựng của Voevodsky là nó làm việc được trên mọi lược đồ nền.
Mình sẽ trình bày phiên bản đơn giản của phiên bản đầu của Voevodsky trước. Sau đó mình sẽ định nghĩa đối đồng điều motivic dựa trên đồng điều Suslin và trình bày một số tính chất của nó.
Ý tưởng của lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân là thay thế đoạn đơn vị $[0,1]$ trong topo bởi đường thẳng affine $\mathbb{A}^1 = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t])$. Trong lý thuyết đối đồng điều kì dị và một số loại đối đồng điều cho đa tạp đại số ta biết có tính chất $H^{*}(X) \cong H^*(X \times \mathbb{A}^1)$, đây gọi tính $\mathbb{A}^1$--đồng luân và nó luôn đóng vai trò chủ chốt trong mọi xây dựn, một lý thuyết đối đồng điều thường được biểu diễn bởi hàm tử hom trong một phạm trù tam giác hợp lý (hãy nghĩ điều này trong phiên bản topo với định lý biểu diễn Brown). Lấy ví dụ nếu $T$ là một không gian topo, khi đó đối đồng điều bó với hệ số trong một nhóm abel $A$ có thể biểu diễn theo hai cách
$$H^n(T,A) = \mathrm{Ext}^n_{\mathbf{Sh}(T,\mathbf{Ab}) }(\mathbb{Z}_T,A_T) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{D}(\mathbf{Sh}(T,\mathbf{Ab}))}(\mathbb{Z}_T,A_T[n]),$$
trong đó $G_T$ là bó hằng với giá trị tại một nhóm abel $G$ và $\mathbf{D}$ là phạm trù dẫn suất.
$\mathbb{A}^1$-địa phương hóa. Cho $R$ là một vành giao hoán có đơn vị, với mỗi tập $E$ ta kí hiệu $R \otimes E$ bởi $R$-module tự do với một cơ sở là $E$. Cho $S$ là một lược đồ bất kì, ta kí hiệu $Sm/S$ bởi phạm trù các lược đồ trơn trên $S$ và trang bị cho $Sm/S$ topo étale. Kí hiệu $\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)$ bởi phạm trù các bó étale trên small étale site $Sm/S$ với giá trị trong $\mathrm{Mod}_R$-phạm trù các $R$-module. Với mỗi $X \in \mathrm{obj}(Sm/S)$ ta có một hàm tử
$$\begin{align*} R_{ét}: Sm/S & \to \mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \\ X & \mapsto \left \{ U \mapsto R \otimes \mathrm{Hom}_S(U,X) \right \} \end{align*}$$
Phạm trù $\mathbf{Sh}(Sm/S;R)$ được trang bị một cấu trúc tensor: nếu $\mathcal{F},\mathcal{G}$ là hai bó etale thì $\mathcal{F} \otimes_R \mathcal{G}$ là bó hóa của tiền bó $U \mapsto \mathcal{F}(U) \otimes_R \mathcal{G}(U)$. Giờ để làm đối đồng điều ta xét phạm trù dẫn xuất $\mathbf{D}(\mathbf{Sh}(Sm/S;R))$ và sau đó để "áp đặt" tính $\mathbb{A}^1$-đồng luân ta ký hiệu $\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$ bởi phạm trù tam giác con nhỏ nhất đóng bởi tổng trực tiếp và chứa tất cả các phức dạng
$$[... \to R_{ét}(\mathbb{A}^1 \times U) \to R_{ét}(U) \to 0 \to ...],$$
trong đó $U$ là một $S$-lược đồ trơn. Lưu ý với mỗi $U$ ta có vô hạn phức như trên tùy vào cách đặt bậc, lý do là ta "nên" có $H^*(X) \cong H^*(X \times [0,1])$ tại mọi bậc.
Định nghĩa. Ta định nghĩa các $S$-motive effective $\mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)$ là phạm trù $\mathbf{D}(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))/\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$, ở đây ta lấy thương Verdie, về mặt các vật thì nó có cùng các vật với $\mathbf{D}(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))$ nhưng khi chuyển vào phạm trù thương thì mọi vật của $\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1}$ đẳng cấu với $0$. Với mỗi $S$-lược đồ trơn $X$, ký hiệu $M^{eff}(X)$ bởi ảnh của $X$ qua hợp thành
$$Sm/S \overset{R_{ét}}{\rightarrow} \mathbf{Sh}(Sm/S;R) \to \mathbf{D}( \mathbf{Sh}(Sm/S;R ) ) \to \mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R),$$
và ta gọi $M^{eff}(X)$ là motive đối đồng điều effective của $X$.
Lấy động lực từ đối đồng điều $l$-adic (đoạn này mình cũng không rõ vì từ trước tới giờ chỉ mới đụng tới đối đồng điều étale) ta sẽ địa phương hóa phạm trù $\mathbf{DA}^{eff,ét}$ theo motive Lefschetz $L = R_{ét}(\mathbb{P}^1_S,\infty_S)$. Ta định nghĩa ổn định hóa naive (naive stabilization) $\mathbf{DA}^{naive,ét}$ bởi
$$\mathbf{DA}^{naive,ét}(S;R) = \mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)[L^{-1}],$$
trong đó một vật là một cặp $(M,m)$ với $M \in \mathrm{obj}(\mathbf{DA}^{eff,ét})$ và $m \in \mathbb{Z}$. Cấu xạ được cho bởi
$$\mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{naive,ét}(S;R)}((M,m),(N,n)) = \underset{\underset{r \geq -\mathrm{min}(m,n)}{\longrightarrow}}{\lim} \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{eff,ét}(S;R)}(M \otimes L^{r+m}, N \otimes L^{r+n}).$$
(ta sẽ gặp lại xây dựng này trong phiên bản đầu tiên của Voevodsky). Phạm trù $\mathbf{DA}^{naive,ét}$ được tin là đủ tốt để trở thành định nghĩa của phạm trù $S$-motive, tuy nhiên nó gặp nhiều vấn đề kĩ thuật; ví dụ đơn giản nhất là nó không phải phạm trù tam giác.
$L$-phổ và đối đồng điều étale motivic. Ta vẫn giữ nguyên ký hiệu $L = R_{ét}(\mathbb{P}^1_S;\infty_S)$, một $L$-phổ của các bó é tale trên $Sm/S$ là một dãy các bó étale $\mathcal{E}=(\mathcal{E}_n)$ ($n \in \mathbb{N})$ và một dãy các đẳng cấu mà ta gọi là các assembly map, $\gamma_n: L \otimes \mathcal{E}_n \to \mathcal{E}_{n+1}$. Ta định nghĩa cấu xạ giữa hai $L$-phổ theo cách hiển nhiên tương thích với các assembly map và ký hiệu $\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R))$ bởi phạm trù các $L$-phổ.
Hàm tử
$$\begin{align*} \mathrm{Ev}_p: \mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)) & \to \mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \\ ((\mathcal{E}_n),(\gamma_n)) & \mapsto \mathcal{E}_n \end{align*}$$ gửi mỗi phổ $((\mathcal{E}_n),(\gamma_n))$ tới bậc thứ $p$ của nó có một hàm tử liên hợp được ký hiệu bởi
$$\mathrm{Sus}^p_L: \mathrm{Sh}_{ét}(Sm/S;R) \to \mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)).$$
Ta ký hiệu $\mathrm{Sus}^0_L$ bởi $\Sigma^{\infty}_L$. Như thường lệ, ta xét $\mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))$ là phạm trù dẫn xuất của phạm trù các $L$-phổ, ký hiệu $\mathcal{T}_{\mathbb{A}^1-st}$ bởi phạm trù tam giác con nhỏ nhất của $\mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))$ mà đóng với phép lấy tổng trực tiếp tùy ý đồng thời chứa tất cả các phức dạng
$$[... \to 0 \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(\mathbb{A}^1 \times U) \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(U) \to 0 \to ... ],$$
$$[... \to 0 \to \mathrm{Sus}^{p+1}_L R_{ét}(L \otimes U) \to \mathrm{Sus}^p_L R_{ét}(U) \to 0 \to ...].$$
Định nghĩa. Ta định nghĩa phạm trù các bó motivic trên $S$ (hoặc đơn giản, các $S$-motive), ký hiệu $\mathbf{DA}^{ét}(S;R)$, bởi công thức
$$\mathbf{DA}^{ét}(S;R) = \mathbf{D}(\mathrm{Spt}_L(\mathbf{Sh}_{ét}(Sm/S;R)))/\mathbf{T}_{\mathbb{A}^1-st}.$$
Với mỗi $S$-lược đồ trơn $S$, thì $\Sigma_L^{\infty}R_{ét}(X)$ xem như một vật của $\mathbf{DA}^{ét}(S;R)$ được gọi là motive đồng điều của $X$ và sẽ được ký hiệu bởi $M(X)$.
Định nghĩa. (đối đồng điều étale motivic) Ta định nghia các Tate motive $R_S(p)$ bởi công thức $R_S(p) = \mathrm{Sus}^0_L(L^{\otimes p})[-2p]$ và định nghĩa
$$H^p_{\mathcal{L}}(S;R(p)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{ét}(S;R)}(R(0), R(q)[p]),$$
với mọi $p,q \in \mathbb{Z}$. Các nhóm này được gọi là đối đồng điều étale motivic của lược đồ $S$.
Định nghĩa. (nhóm Chow étale) Cho $k$ là một trường, $X$ là một đa tạp trơn trên $k$. Ta định nghĩa nhóm Chow étale của $X$ bởi
$$\mathrm{CH}^{2n}_{ét}(X) = H^{2n}_{\mathcal{L}}(X;\mathbb{Z}(n)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{DA}^{ét}(k;\mathbb{Z})}(M(X),\mathbb{Z}(n)[2]).$$
Rosenschon và Srinivas xây dựng một cấu xạ chu trình khi $k = \mathbb{C}$, $\mathrm{CH}_{ét}^{2n}(X) \to H^{2n}(X(\mathbb{C});\mathbb{Z})$ và chứng minh rằng nếu giả thuyết Hodge đúng cho nhóm Chow hữu tỷ $\mathrm{Ch}^*(X) \otimes \mathbb{Q}$ thì nó đúng cho nhóm Chow étale với hệ số trên $\mathbb{Z}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-01-2022 - 05:37