Đến nội dung


Hình ảnh

$$-3 \le ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd \le 5.$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 KhoiNguyen213

KhoiNguyen213

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 15-01-2022 - 09:01

Cho các số thực $a,\, b,\, c,\, d$ thỏa mãn $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=16.$ Chứng minh rằng

$$-3 \le ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd \le 5.$$



#2 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1464 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 15-01-2022 - 09:10

Đây là một bất đẳng thức rất quen thuộc!

Ta có: $(ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd-1)^2=\left [ a(b+c+d-bcd)+1.(bc+bd+cd-1) \right ]^2\leqslant (a^2+1)\left [ (b+c+d-bcd)^2+(bc+bd+cd-1)^2 \right ]=(a^2+1)(b^2c^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2+b^2+c^2+d^2+1)=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=16$

$\Rightarrow -3 \le ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd \le 5$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 308 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 15-01-2022 - 09:14

Cách tách khác: $(ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd-1)^2=[(a+b)(c+d)-(ab-1)(cd-1)]^2\leq \sqrt{[(a+b)^2+(ab-1)^2][(c+d)^2+(cd-1)^2]}=16\rightarrow đpcm$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh