Đến nội dung

Hình ảnh

$$\frac{3\sqrt{2}}{2} \le a+b+c \le 3.$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
KhoiNguyen213

KhoiNguyen213

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Cho các số thực không âm $a,\, b,\, c$ thỏa mãn $2(a^2+b^2+c^2)+3abc=9$. Chứng minh rằng

$$\frac{3\sqrt{2}}{2} \le a+b+c \le 3.$$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Phù! Mới tiêm mũi 2 xong! Làm bài bất mở hàng mong cho khỏi sốt :icon6: 

Theo giả thiết ta có: $2(a+b+c)^2=9+4(ab+bc+ca)-3abc$

Ta chỉ cần chỉ ra: $4(ab+bc+ca)-3abc\geqslant 0$ nữa là bất đẳng vế trái sẽ được chứng minh

Thật vậy, giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$ thì $3>abc\geqslant bc\sqrt{bc}\Rightarrow bc<\sqrt[3]{9}\Rightarrow 8\sqrt{bc}-3bc\geqslant0\Rightarrow 4(ab+bc+ca)-3abc=a(4b+4c-3bc)+4bc\geqslant a(8\sqrt{bc}-3bc)+4bc\geqslant 0$

Dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{3\sqrt{2}}{2},b=c=0$ và các hoán vị

Giả sử $a+b+c>3$

$\Rightarrow (a+b+c)^2>9=2(a^2+b^2+c^2)+3abc>2(a^2+b^2+c^2)+\frac{9abc}{a+b+c}\Rightarrow 2(ab+bc+ca)> a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}$

Bất đẳng thức cuối trái với Schur nên điều giả sử là sai

Vậy $a+b+c\leqslant 3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=0,b=c=\frac{3}{2}$ và các hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 19-01-2022 - 17:31

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh