Cho các số thực không âm $a,\, b,\, c$ thỏa mãn $2(a^2+b^2+c^2)+3abc=9$. Chứng minh rằng
$$\frac{3\sqrt{2}}{2} \le a+b+c \le 3.$$
Cho các số thực không âm $a,\, b,\, c$ thỏa mãn $2(a^2+b^2+c^2)+3abc=9$. Chứng minh rằng
$$\frac{3\sqrt{2}}{2} \le a+b+c \le 3.$$
Phù! Mới tiêm mũi 2 xong! Làm bài bất mở hàng mong cho khỏi sốt
Theo giả thiết ta có: $2(a+b+c)^2=9+4(ab+bc+ca)-3abc$
Ta chỉ cần chỉ ra: $4(ab+bc+ca)-3abc\geqslant 0$ nữa là bất đẳng vế trái sẽ được chứng minh
Thật vậy, giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$ thì $3>abc\geqslant bc\sqrt{bc}\Rightarrow bc<\sqrt[3]{9}\Rightarrow 8\sqrt{bc}-3bc\geqslant0\Rightarrow 4(ab+bc+ca)-3abc=a(4b+4c-3bc)+4bc\geqslant a(8\sqrt{bc}-3bc)+4bc\geqslant 0$
Dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{3\sqrt{2}}{2},b=c=0$ và các hoán vị
Giả sử $a+b+c>3$
$\Rightarrow (a+b+c)^2>9=2(a^2+b^2+c^2)+3abc>2(a^2+b^2+c^2)+\frac{9abc}{a+b+c}\Rightarrow 2(ab+bc+ca)> a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}$
Bất đẳng thức cuối trái với Schur nên điều giả sử là sai
Vậy $a+b+c\leqslant 3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=0,b=c=\frac{3}{2}$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 19-01-2022 - 17:31
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh