Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Dẫn nhập vào lý thuyết giao


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1615 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:l'Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic integration, motivic stable homotopy theory, the theory of motives

Đã gửi 20-01-2022 - 03:39

Trong bài viết này, cho $K$ là một trường. Một đa tạp $X$ là một $K$-lược đồ nguyên tách được, kiểu hữu hạn (finite type), một đa tạp con $Z$ của $X$ là một nhúng đóng sao cho nó cũng là một đa tạp. Từ giả thiết $Z$ là bất khả quy do đó nó có một điểm generic ký hiệu bởi $\eta_Z$, ta ký hiệu $\mathcal{O}_{Z,X}$ để hiểu $\mathcal{O}_{\eta_Z,X}$. Ký hiệu $K(X)$ là trường hàm của $X$.

 

[Har] để chỉ R. Hartshorne, Algebraic Geometry.

[Ful] để chỉ W. Fulton, Intersection Theory, 1984.

 

Bài viết này chủ yếu theo chương $1,2$ của [Ful] trong đó mình collect các ý chính và chú giải ở một số chỗ. Mục đích để mang một dẫn nhập ngắn và nguồn tham khảo cho diễn đàn. Trong bài thứ hai của topic này mình sẽ giới thiệu về các correspondences (có khá nhiều loại correspondence), nó xuất hiện trong mọi xây dựng các phạm trù motive và bài viết cuối sẽ giải thích tại sao ta lại quan tâm đến các correspondence.

 

Chu trình đại số

 

Định nghĩa Ta định nghĩa bậc triệt tiêu dọc theo $Z$ của một hàm hữu tỷ $r \in K(X)$ là $\mathrm{ord}_{Z}(r)=\mathrm{length}_{\mathcal{O}_{Z,X}}(\mathcal{O}_{Z,X}/(a)) - \mathrm{length}_{\mathcal{O}_{Z,X}}(\mathcal{O}_{Z,W}/(b))$ nếu $r = a/b$ trong đó $a,b \in \mathcal{O}_{Z,X}$.

 

Ví dụ. Khi $Z$ có đối chiều một trong $X$ thì $\mathcal{O}_{Z,X}$ là một DVR ta do đó ta có thể định nghĩa $\mathrm{ord}_Z(r) = v_{\eta_Z}(a)-v_{\eta_Z}(b)$ trong đó $v_{\eta_Z}$ là định giá của $\mathcal{O}_{Z,X}$.

 

Định nghĩa Cho $X$ là một đa tạp, một $k$-chu trình trên $X$ là một tổng hình thức có giá hữu hạn $\sum n_i Z_i$ trong đó $n_i \mathbb{Z}$ và $Z_i$ là các đa tạp con $k$ chiều. Ký hiệu $Z_k(X)$ cho nhóm các $k$-chu trình. Ký hiệu $Z_*(X)= \bigoplus_{i=0}^{\mathrm{dim}(X)}Z_i(X)$.

 

Với $W$ là một đa tạp con của $X$ chiều $(k+1)$, lấy $r \in K(W)^*$ ta định nghĩa được một $k$-chu trình $\mathrm{div}(r)$ bởi

$$\mathrm{div}(r) = \sum \mathrm{ord}_{Z,W}(r)Z,$$

trong đó tổng chạy trên tất cả các đa tạp con đối chiều $1$ của $W$. Xem [Har], II, lemma 6.1 để thấy tổng trên hữu hạn.

 

Định nghĩa. Hai $k$-chu trình được gọi là tương đương hữu tỷ nếu hiệu của chúng là một chu trình dạng $\mathrm{div}(r)$. Nhóm Chow thứ $k$, ký hiệu $\mathrm{CH}_k(X)$ được định nghĩa bởi $$\mathrm{CH}_k(X) = Z_k(X)/\left \{\text{Tương đương hưu tỷ} \right \}.$$

Bổ đề. Nếu $X$ là hợp rời của các lược đồ $X_1,...,X_n$ thì $Z_k(X) = \bigoplus_{i=1}^n Z_k(X_i)$ và tổng trực tiếp này descend xuống $\mathrm{CH}_k(X) = \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{CH}_k(X_i)$.

 

Bổ đề. Nếu $X_1,X_2$ là các lược đồ con đóng của $X$ thì ta có một dãy khớp

$$\mathrm{CH}_k(X_1 \cap X_2) \to \mathrm{CH}_k(X_1) \oplus \mathrm{CH}_k(X_2) \to \mathrm{CH}_k(X_1 \cup X_2) \to 0.$$

 

Bây giờ cho $X$ là một lược đồ bất kỳ (không nhất thiết of finite type), khi đó với mọi thành phần bất khả quy $X_i$ của $X$ thì $\mathcal{O}_{X_i,X}$ là vành Artin địa phương. Ta định nghĩa chu trình cơ bản của $X$ là (lạm dụng ký hiệu) $X = \sum_{$X_i \subset X \ \text{bkq}$} \mathrm{length}_{O_{X_i,X}}(\mathcal{O}_{X_i,X})X_i$.

 

Đây xuôi của chu trình

 

Cho $f: X \to Y$ là một cấu xạ riêng. Khi đó vì $f$ liên tục nên nếu $Z$ là một đa tạp con của $X$ thì $f(Z)=W$ là một đa tạp con của $Y$; nó đóng do $f là riêng. Nói riêng $K(Z)/K(W)$ là một mở rộng trường.

 

Định nghĩa. Ta định nghĩa đẩy xuôi $f_*(Z) = \mathrm{deg}(Z/W)Z$ trong đó $\mathrm{deg}(Z/W) = [K(Z):K(W)]$ nếu $\mathrm{dim}(Z) = \mathrm{dim}(W)$ và $0$ trong trường hợp khác.

 

Lưu ý 1. Định nghĩa bậc này tốt vì khi $\mathrm{dim}(Z)  = \mathrm{dim}(W)$ thì $K(Z)/K(W)$ là một mở rộng hữu hạn. Thật vậy ta quy bài toán về trường hợp affine, giả sử $A \hookrightarrow B$ là một nhúng (nhúng do hạn chế $f: Z \to W$ là áp đảo) của hai $K$-đại số hữu hạn sinh đồng thời là hai miền nguyên. Khi đó $\mathrm{Frac}(A) \hookrightarrow \mathrm{Frac}(B)$. Điều kiện $\mathrm{dim}(A) = \mathrm{dim}(B)$ nói rằng $\mathrm{tr.deg}_K(\mathrm{Frac}(A)) = \mathrm{tr.deg}_K(\mathrm{Frac}(B))$ hay mở rộng $\mathrm{Frac}(B)/\mathrm{Frac}(A)$ là mở rộng đại số, tuy nhiên $B=A[a_1,...,a_n]/A$ hữu hạn sinh nên $\mathrm{Frac}(B)/\mathrm{Frac}(A)$ hữu hạn sinh. Thật vậy viết mọi phần tử của $\mathrm{Frac}(B)$ dạng $b/b'$, khi đó $b=f(a_1,...,a_n)$, $b'=g(a_1,...,a_n)$ và $b'h(b')=1$ với $f,g \in A[x_1,...,x_n],h \in \mathrm{Frac}(A)[x]$ nên $b/b'=P(a_1,...,a_n)$. Theo Hilbert's Nullstellensatz thì nó là mở rộng hữu hạn.

 

Lưu ý 2. Theo công thức tháp trường, ta thấy đẩy xuôi trên chu trình có tính hàm tử.

 

Mệnh đề. Cho $f: X \to Y$ là một cấu xạ riêng, khi đó nếu $\alpha$ là một $k$-chu trình tương đương hữu tỷ với $0$ trên $X$ thì $f_*\alpha$ tương đương hữu tỷ với $0$ trên $Y$. Nói riêng, $f_*: \mathrm{CH}_*(X) \to \mathrm{CH}_*(Y)$ là một hàm tử.

 

Lưu ý 3. Điều kiện riêng không thể bỏ đi được.

 

Kéo ngược phẳng

 

Định nghĩa. Cho $f : X \to Y$ là một cấu xạ phẳng, ta nói $f$ có chiều tương đối $n$ nếu với mọi $X' \subset X, Y' \subset Y$ là các thành phần phất khả quy sao cho $f(X') \subset Y'$ thì ta có $\mathrm{dim}(X) = \mathrm{dim}(Y) + n$.

 

Lưu ý. Theo [Har], III, corollary 9.6 thì điều kiện trên tương đương với việc mọi thành phần bất khả quy của $X_y  = X \times_{Y} \mathrm{Spec}(k(y))$ có chiều $n$ với $y \in Y$. Lớp cấu xạ này hiển nhiên bao gồm các cấu xạ smooth.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 23-01-2022 - 19:19

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh