Mong mọi người hỗ trợ em bài này ạ, em cảm ơn nhiều ạ.
Cho 2 số $a,b \in \mathbb{Z+}$,chứng minh rằng $a^{b}.b^{a}\leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{a+b}$
Ta chứng minh với mọi số thực dương $a,b$ thì $a^b.b^a\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^{a+b}$.
Chuẩn hoá $a+b=2$.
Lấy ln hai vế ta cần chứng minh $bln(a)+aln(b)\leq 0$.
Xét hàm số $f(x)=ln(x)-x+1,x\in(0;2)$.
Ta có $f'(x)=\frac{1}{x}-1$. $f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$.
Lập bảng biến thiên ta có $f(x)\leq f(1)=0,\forall x\in(0;2)$.
Do đó $bln(a)+aln(b)\leq b(a-1)+a(b-1)\leq 0$.
Cho 2 số $a,b \in \mathbb{Z+}$,chứng minh rằng $a^{b}.b^{a}\leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{a+b}$
Đây là ứng dụng của amgm suy rộng
$a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{2ab}{a+b}\leq \frac{a+b}{2}$
Suy ra dpcm
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh