Chủ đề này có 2 trả lời

[thankumyvip]

Mong mọi người hỗ trợ em bài này ạ, em cảm ơn nhiều ạ.

Cho 2 số $a,b \in \mathbb{Z+}$,chứng minh rằng $a^{b}.b^{a}\leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{a+b}$

[Hoang72]

Ta chứng minh với mọi số thực dương $a,b$ thì $a^b.b^a\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^{a+b}$.

Chuẩn hoá $a+b=2$.

Lấy ln hai vế ta cần chứng minh $bln(a)+aln(b)\leq 0$.

Xét hàm số $f(x)=ln(x)-x+1,x\in(0;2)$.

Ta có $f'(x)=\frac{1}{x}-1$. $f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$.

Lập bảng biến thiên ta có $f(x)\leq f(1)=0,\forall x\in(0;2)$.

Do đó $bln(a)+aln(b)\leq b(a-1)+a(b-1)\leq 0$.

 

 

[Gia Cat Minh]

Cho 2 số $a,b \in \mathbb{Z+}$,chứng minh rằng $a^{b}.b^{a}\leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{a+b}$

Đây là ứng dụng của amgm suy rộng

$a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{2ab}{a+b}\leq \frac{a+b}{2}$

Suy ra dpcm