Chủ đề này có 1 trả lời

[bimcaucau]

Cho $a,b,c$ là các số không âm. CMR

$\frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}+\frac{2b^2-ac}{a^2-ac+c^2}+\frac{2c^2-ab}{a^2-ab+a^2}\geq 3$

[PDF]

Cho $a,b,c$ là các số không âm. CMR

$\frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2}+\frac{2b^2-ac}{a^2-ac+c^2}+\frac{2c^2-ab}{a^2-ab+b^2}\geq 3$

Nhân tiện trong khi giải bài này, mình sẽ nói thêm đôi chút về thủ thuật SOS bằng tay.

Lời giải. Bất đẳng thức tương đương

$$\sum_{cyc}\frac{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq 0$$

$$\iff \sum_{cyc}\left(\frac{a^{2}-b^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\right)\geq 0$$

$$\iff \sum_{cyc}\left(\frac{b^{2}-c^{2}}{a^{2}-ac+c^{2}}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}\right)\geq 0$$

$$\iff \sum_{cyc}\frac{(b+c)(b+c-a)(b-c)^{2}}{(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}-ac+c^{2})}\geq 0$$

$$\iff \sum_{cyc}\left[\frac{(b+c-a)^{2}(b-c)^{2}}{(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}-ac+c^{2})}+\frac{a(b+c-a)(b-c)^{2}}{(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}-ac+c^{2})}\right]\geq 0$$

$$\iff \sum_{cyc}\left[\frac{\left[(b+c-a)^{2}+bc\right](b-c)^{2}}{(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}-ac+c^{2})}\right]-\sum_{cyc}\frac{(b-c)^{2}(a-b)(a-c)}{(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}-ac+c^{2})}\geq 0$$

$$\iff \sum_{cyc}\left[\frac{\left[(b+c-a)^{2}+bc\right](b-c)^{2}}{(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}-ac+c^{2})}\right]+\frac{2(b-c)^{2}(c-a)^{2}(a-b)^{2}}{(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}\geq 0,$$

hiển nhiên đúng.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ và các hoán vị tương ứng. $\square$

Thủ thuật trên đây là "tận dụng" biểu thức $\sum_{cyc} S_{a}(a-b)(a-c)(b-c)^{2}$ để nhóm lại thành một nhân tử mới, rất hữu dụng.

PS: Đề bài ban đầu chắc là gõ nhầm, mình đã sửa lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 19-02-2022 - 12:43