Đến nội dung


Hình ảnh

$(a^2b+b^2a+a^2c+c^2a+b^2c+c^2b)^2\geqslant 4(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nON

nON

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 26-01-2022 - 22:14

1. Cho a,b,c là các số thực dương, Chứng minh bất đảng thức:

                    $(a^2b+b^2a+a^2c+c^2a+b^2c+c^2b)^2\geqslant 4(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

2. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. CMR:

                    $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leqslant a^2b^2c^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nON: 26-01-2022 - 22:23


#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 345 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:(^_^)

Đã gửi 26-01-2022 - 22:43

2: 

Xét $\Delta ABC$ có $BC=a;CA=b;AB=c$.

Ta có $\sin A+\sin B+\sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{a+b+c}{R}\leq 3\sqrt{3}\Rightarrow R^2\geq \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow a^2b^2c^2\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$



#3 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-03-2022 - 10:13

1. Cho a,b,c là các số thực dương, Chứng minh bất đảng thức:

$$(a^2b+b^2a+a^2c+c^2a+b^2c+c^2b)^2\geqslant 4(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).$$

Cách 1. Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a,c$.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $$VP\leq \left[b(bc+ca+ab)+\frac{b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}}{b}\right]^{2}.$$

Cần chứng minh $$bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)\geq b(bc+ca+ab)+\frac{b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}}{b},$$

hay $$\frac{ac(a-b)(b-c)}{b}\geq 0,$$

đúng theo giả sử.

 

Cách 2. Ta chứng minh BĐT tổng quát hơn (Ukraine 2001)

$$x(b+c)+y(c+a)+z(a+b)\geq 2\sqrt{(yz+zx+xy)(bc+ca+ab)}.$$

BĐT tương đương

$$(a+b+c)(x+y+z)\geq ax+by+cz+2\sqrt{(yz+zx+xy)(bc+ca+ab)}.$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$$VP\leq \sqrt{\left[a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(bc+ca+ab)\right]\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(yz+zx+xy)\right]}=VT.$$

Chọn $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$ ta có ngay điều phải chứng minh.

 

Cách 3. Giả sử $a\geq b\geq c$.

Xét đa thức $P(x)=(bc+ca+ab)x^{2}-[bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)]x+(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2})$.

Ta có $P(a)=bc(a-b)(a-c)\geq 0,P(b)=ca(b-c)(b-a)\leq 0,P(c)=ab(c-a)(c-b)\geq 0$.

Suy ra $P(x)$ có hai nghiệm, nên $\Delta_{x}=VT-VP\geq 0$. $\square$







3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh