Đến nội dung

Hình ảnh

Nguyên hàm đa biến

- - - - - nguyên hàm giải tích thú vị mới

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Roses Cremple

Roses Cremple

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Sau đây mình sẽ giới thiệu cho mọi người một phương pháp giúp tính nguyên hàm của một hàm đa biến khi biết đạo hàm của nó và một hàm điều kiện. Một hàm đa biến khi đạo hàm sẽ bẳng tổng đạo hàm của các biến. Với 2 biến $x$ và $y$:

$$f'(x,y) = f'(x) + f'(y)$$

Khi có đạo hàm của hàm đa biến, việc tính nguyên hàm khá là "bế tắc". Nhưng không gì là không thể! Ta chỉ cần có đạo hàm và một hàm điều kiện $f(x_0;y)$ hay $f(x,y_0)$ với $\left\{ {{x_0};{y_0}} \right\} \in \mathbb{R} $

Để dễ hiểu, ta sẽ giải ví dụ sau: 

Xác định hàm số $f(x,y)$ biết:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(x,y) = 4y + 2x}\\{f(x,0) = 0}\end{array}} \right.$
 

Giải

Bước 1: Tạo phương trình biến đồng dạng

Ta có $f(x,0) = 0 \Leftrightarrow f({x_0}{\rm{,}}{{\rm{y}}_0}) = 0$

Phương trình biến đồng dạng:
$\begin{array}{l}\to x - y = {x_0} - {y_0}\\\Leftrightarrow x - y = {x_0}\end{array}$ Với $y_0=0$

Bước 2: Thế phương trình biến đồng dạng để giảm biến

$\to y = x - {x_0}$

Thế $y$ vào phương trình đạo hàm ta sẽ chỉ còn một biến $x$:

$$f'(x,y) = 4(x - {x_0}) + 2x = 6x - 4{x_0}$$

Bước 3: Tính nguyên hàm

Tính nguyên hàm như bình thường:

$\begin{array}{l}f(x,y) = \int {f'(x,y)dx}  + C = \int {6x - 4{x_0}dx}  + C\\f(x,y) = 3{x^2} - 4x.{x_0} + C\end{array}$
Bước 4: Tìm $C$
Tìm hằng số $C$, dựa vào dữ kiện ${f(x,0) = 0}$. Thay $y = 0$ vào phương trình biến đồng dạng  $\to x = {x_0}$
$\to f({x_0},0) = 3{x_0}^2 - 4{x_0}.{x_0} + C = 0 \to C = {x_0}^2$
$\to f(x,y) = 3{x^2} - 4x.{x_0} + {x_0}^2$
Bước 5: Sử dụng phương trình biến đồng dạng truy về phương trình gốc
Thay ${x_0} = x - y$
$\begin{array}{l}\to f(x,y) = 3{x^2} - 4x.(x - y) + {(x - y)^2}\\\leftrightarrow f(x,y) = 2xy + {y^2}\end{array}$
 
Đây là một phương pháp do mình tìm ra. Trên đây chỉ là một ví dụ, phương pháp này đúng và có thể áp dụng cho mọi hàm số, mong sự góp ý của mọi người.  :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Roses Cremple: 29-01-2022 - 15:46


#2
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

 

Sau đây mình sẽ giới thiệu cho mọi người một phương pháp giúp tính nguyên hàm của một hàm đa biến khi biết đạo hàm của nó và một hàm điều kiện. Một hàm đa biến khi đạo hàm sẽ bẳng tổng đạo hàm của các biến. Với 2 biến $x$ và $y$:

$$f'(x,y) = f'(x) + f'(y)$$

Khi có đạo hàm của hàm đa biến, việc tính nguyên hàm khá là "bế tắc". Nhưng không gì là không thể! Ta chỉ cần có đạo hàm và một hàm điều kiện $f(x_0;y)$ hay $f(x,y_0)$ với $\left\{ {{x_0};{y_0}} \right\} \in \mathbb{R} $

Để dễ hiểu, ta sẽ giải ví dụ sau: 

Xác định hàm số $f(x,y)$ biết:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(x,y) = 4y + 2x}\\{f(x,0) = 0}\end{array}} \right.$
 

Giải

Bước 1: Tạo phương trình biến đồng dạng

Ta có $f(x,0) = 0 \Leftrightarrow f({x_0}{\rm{,}}{{\rm{y}}_0}) = 0$

Phương trình biến đồng dạng:
$\begin{array}{l}\to x - y = {x_0} - {y_0}\\\Leftrightarrow x - y = {x_0}\end{array}$ Với $y_0=0$

Bước 2: Thế phương trình biến đồng dạng để giảm biến

$\to y = x - {x_0}$

Thế $y$ vào phương trình đạo hàm ta sẽ chỉ còn một biến $x$:

$$f'(x,y) = 4(x - {x_0}) + 2x = 6x - 4{x_0}$$

Bước 3: Tính nguyên hàm

Tính nguyên hàm như bình thường:

$\begin{array}{l}f(x,y) = \int {f'(x,y)dx}  + C = \int {6x - 4{x_0}dx}  + C\\f(x,y) = 3{x^2} - 4x.{x_0} + C\end{array}$
Bước 4: Tìm $C$
Tìm hằng số $C$, dựa vào dữ kiện ${f(x,0) = 0}$. Thay $y = 0$ vào phương trình biến đồng dạng  $\to x = {x_0}$
$\to f({x_0},0) = 3{x_0}^2 - 4{x_0}.{x_0} + C = 0 \to C = {x_0}^2$
$\to f(x,y) = 3{x^2} - 4x.{x_0} + {x_0}^2$
Bước 5: Sử dụng phương trình biến đồng dạng truy về phương trình gốc
Thay ${x_0} = x - y$
$\begin{array}{l}\to f(x,y) = 3{x^2} - 4x.(x - y) + {(x - y)^2}\\\leftrightarrow f(x,y) = 2xy + {y^2}\end{array}$
 
Đây là một phương pháp do mình tìm ra. Trên đây chỉ là một ví dụ, phương pháp này đúng và có thể áp dụng cho mọi hàm số, mong sự góp ý của mọi người.  :icon6:

 

Bạn cần viết rõ hơn. Khi bạn viết rõ ra rồi thì bài toán bạn đang làm như sau:

Tìm $f(x,y)$ sao cho: $f’_x(x,0)+f’_y(0,y)=g(x,y).$ Mình không rõ ý nghĩa của phương trình này. Vì vậy mình đề nghị bạn một công việc tốt hơn là tìm hiểu về phương trình vi phân/phương trình đạo hàm riêng. Hơn nữa, bạn không hiểu gì về đạo hàm của hàm nhiều biến, nên bạn cần bắt đầu bằng học kiến thức cơ bản của giải tích. Bạn có thể ra cửa hàng sách ở bên tay trái trường đại học khoa học tự nhiên Hà Nội để mua sách giải tích của Trần Đức Long.



#3
Roses Cremple

Roses Cremple

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Bạn cần viết rõ hơn. Khi bạn viết rõ ra rồi thì bài toán bạn đang làm như sau:

Tìm $f(x,y)$ sao cho: $f’_x(x,0)+f’_y(0,y)=g(x,y).$ Mình không rõ ý nghĩa của phương trình này. Vì vậy mình đề nghị bạn một công việc tốt hơn là tìm hiểu về phương trình vi phân/phương trình đạo hàm riêng. Hơn nữa, bạn không hiểu gì về đạo hàm của hàm nhiều biến, nên bạn cần bắt đầu bằng học kiến thức cơ bản của giải tích. Bạn có thể ra cửa hàng sách ở bên tay trái trường đại học khoa học tự nhiên Hà Nội để mua sách giải tích của Trần Đức Long.

Cảm ơn góp ý của bạn, nhưng có vẻ bạn đã hiểu sai về đề bài của mình.

Mình biết rõ là $f'(x,y) = f{'_x}(x,y) + f{'_y}(x,y)$ và đã giới thiệu ở đầu.

Ví dụ như $f(x,y) = 2xy + {y^2}$ 

$ \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f{'_x}(x,y) = 2y}\\{f{'_y}(x,y) = 2x + 2y}\end{array}} \right.$
$\to f'(x,y) = 4y+2x$
Và đề bài của mình là nếu bạn biết được $ f'(x,y) = 4y+2x$ và $f(x,0) = 0$ thì bạn có thể suy ngược lại hàm $f(x,y)$ ban đầu được hay không?
Cảm ơn bạn.


#4
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

 

Cảm ơn góp ý của bạn, nhưng có vẻ bạn đã hiểu sai về đề bài của mình.

Mình biết rõ là $f'(x,y) = f{'_x}(x,y) + f{'_y}(x,y)$ và đã giới thiệu ở đầu.

Ví dụ như $f(x,y) = 2xy + {y^2}$ 

$ \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f{'_x}(x,y) = 2y}\\{f{'_y}(x,y) = 2x + 2y}\end{array}} \right.$
$\to f'(x,y) = 4y+2x$
Và đề bài của mình là nếu bạn biết được $ f'(x,y) = 4y+2x$ và $f(x,0) = 0$ thì bạn có thể suy ngược lại hàm $f(x,y)$ ban đầu được hay không?
Cảm ơn bạn.

 

Bạn hãy trích dẫn một cuốn sách nào đó phát biểu được định nghĩa đạo hàm của hàm đa biến chứ mình không thể tiếp tục thảo luận dựa trên kiến thức không phải toán học được.



#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Vậy có vẻ bạn Roses đặt $f'(x,y)=f'_x(x,y)+f'_y(x,y)$? Theo mình biết thì đây chỉ là khái niệm bạn tự đặt ra chứ không có đạo hàm nhều biến nào như vậy cả.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
poset

poset

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 125 Bài viết

 

Sau đây mình sẽ giới thiệu cho mọi người một phương pháp giúp tính nguyên hàm của một hàm đa biến khi biết đạo hàm của nó và một hàm điều kiện. Một hàm đa biến khi đạo hàm sẽ bẳng tổng đạo hàm của các biến. Với 2 biến $x$ và $y$:

$$f'(x,y) = f'(x) + f'(y)$$

Khi có đạo hàm của hàm đa biến, việc tính nguyên hàm khá là "bế tắc". Nhưng không gì là không thể! Ta chỉ cần có đạo hàm và một hàm điều kiện $f(x_0;y)$ hay $f(x,y_0)$ với $\left\{ {{x_0};{y_0}} \right\} \in \mathbb{R} $

Để dễ hiểu, ta sẽ giải ví dụ sau: 

Xác định hàm số $f(x,y)$ biết:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(x,y) = 4y + 2x}\\{f(x,0) = 0}\end{array}} \right.$
 

Giải

Bước 1: Tạo phương trình biến đồng dạng

Ta có $f(x,0) = 0 \Leftrightarrow f({x_0}{\rm{,}}{{\rm{y}}_0}) = 0$

Phương trình biến đồng dạng:
$\begin{array}{l}\to x - y = {x_0} - {y_0}\\\Leftrightarrow x - y = {x_0}\end{array}$ Với $y_0=0$

Bước 2: Thế phương trình biến đồng dạng để giảm biến

$\to y = x - {x_0}$

Thế $y$ vào phương trình đạo hàm ta sẽ chỉ còn một biến $x$:

$$f'(x,y) = 4(x - {x_0}) + 2x = 6x - 4{x_0}$$

Bước 3: Tính nguyên hàm

Tính nguyên hàm như bình thường:

$\begin{array}{l}f(x,y) = \int {f'(x,y)dx}  + C = \int {6x - 4{x_0}dx}  + C\\f(x,y) = 3{x^2} - 4x.{x_0} + C\end{array}$
Bước 4: Tìm $C$
Tìm hằng số $C$, dựa vào dữ kiện ${f(x,0) = 0}$. Thay $y = 0$ vào phương trình biến đồng dạng  $\to x = {x_0}$
$\to f({x_0},0) = 3{x_0}^2 - 4{x_0}.{x_0} + C = 0 \to C = {x_0}^2$
$\to f(x,y) = 3{x^2} - 4x.{x_0} + {x_0}^2$
Bước 5: Sử dụng phương trình biến đồng dạng truy về phương trình gốc
Thay ${x_0} = x - y$
$\begin{array}{l}\to f(x,y) = 3{x^2} - 4x.(x - y) + {(x - y)^2}\\\leftrightarrow f(x,y) = 2xy + {y^2}\end{array}$
 
Đây là một phương pháp do mình tìm ra. Trên đây chỉ là một ví dụ, phương pháp này đúng và có thể áp dụng cho mọi hàm số, mong sự góp ý của mọi người.  :icon6:

 

Thực ra cái "đạo hàm" ở trên là đạo hàm có hướng theo vector $\vec{v}=(1,1)$ (https://en.wikipedia...onal_derivative), và nó đơn giản chỉ là mở rộng của đạo hàm riêng, tức là đạo hàm theo một biến (https://en.wikipedia...tial_derivative) . Ờ thì sau khi đổi hệ cơ sở thì bài toán là: tìm hàm $f$ khi biết $f'_x(x,y)$ và $f(x,ax+by)$, lời giải thì dễ suy ra thôi và nó tự nhiên hơn, tham khảo https://en.wikipedia...ative_analogue.

Còn mở rộng định nghĩa đạo hàm, ừ thì đây https://en.wikipedia...otal_derivative.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 30-01-2022 - 20:37


#7
Roses Cremple

Roses Cremple

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Cảm ơn sự góp ý của mọi người. Công nhận mình khái niệm $f'(x,y) = f{'_x}(x,y) + f{'_y}(x,y)$ là do mình nhớ nhầm. Coi bộ bài toán này chỉ đơn giản là tìm hàm số $f(x,y)$ khi biết $\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}$ thôi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Roses Cremple: 31-01-2022 - 09:39






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nguyên hàm, giải tích, thú vị, mới

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh