Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $r+\sqrt{a}$ là số vô tỉ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Cho $a$ là số nguyên dương nhưng không là số chính phương. Gọi $r$ là nghiệm của phương trình: $x^3-2ax+1=0$. Chứng minh $r+\sqrt{a}$ là số vô tỉ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 10-02-2022 - 17:27


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Nhận thấy nếu phương trình $x^3-2ax+1$ có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó có dạng $\pm 1$. Thay vào thấy vô lí

Do đó $r$ vô tỉ.

Giả sử $r+\sqrt{a}=p\in\mathbb Q$.

Khi đó $p-\sqrt{a}$ là nghiệm của $x^3-2ax+1$ có hệ số nguyên nên $p+\sqrt{a}$ cũng là nghiệm của $x^3-2ax+1$.

Dẫn đến đa thức $x^3-2ax+1$ chia hết cho đa thức $x^2-2px+(p^2-a)$.

Dễ thấy $p^2-a\neq 0$

$\Rightarrow x^3-2ax+1=[x^2-2px+(p^2-a)].\left(x+\frac{1}{p^2-a}\right)$.

Đồng nhất hệ số có $-2p+\frac{1}{p^2-a}=0\Rightarrow 2p=p^2-a\Rightarrow a+1=(p-1)^2\Rightarrow p-1\in\mathbb Z\Rightarrow p\in\mathbb Z$.

Từ đó đa thức $x^2-2px+(p^2-a)$ và $x^3-2ax+1$ có hệ số nguyên nên $p^2-a=1\Rightarrow p^2-2p=p^2-1$, vô lí.

Vậy...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 10-02-2022 - 22:04





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh