Cho $a$ là số nguyên dương nhưng không là số chính phương. Gọi $r$ là nghiệm của phương trình: $x^3-2ax+1=0$. Chứng minh $r+\sqrt{a}$ là số vô tỉ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 10-02-2022 - 17:27
Cho $a$ là số nguyên dương nhưng không là số chính phương. Gọi $r$ là nghiệm của phương trình: $x^3-2ax+1=0$. Chứng minh $r+\sqrt{a}$ là số vô tỉ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 10-02-2022 - 17:27
Nhận thấy nếu phương trình $x^3-2ax+1$ có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó có dạng $\pm 1$. Thay vào thấy vô lí
Do đó $r$ vô tỉ.
Giả sử $r+\sqrt{a}=p\in\mathbb Q$.
Khi đó $p-\sqrt{a}$ là nghiệm của $x^3-2ax+1$ có hệ số nguyên nên $p+\sqrt{a}$ cũng là nghiệm của $x^3-2ax+1$.
Dẫn đến đa thức $x^3-2ax+1$ chia hết cho đa thức $x^2-2px+(p^2-a)$.
Dễ thấy $p^2-a\neq 0$
$\Rightarrow x^3-2ax+1=[x^2-2px+(p^2-a)].\left(x+\frac{1}{p^2-a}\right)$.
Đồng nhất hệ số có $-2p+\frac{1}{p^2-a}=0\Rightarrow 2p=p^2-a\Rightarrow a+1=(p-1)^2\Rightarrow p-1\in\mathbb Z\Rightarrow p\in\mathbb Z$.
Từ đó đa thức $x^2-2px+(p^2-a)$ và $x^3-2ax+1$ có hệ số nguyên nên $p^2-a=1\Rightarrow p^2-2p=p^2-1$, vô lí.
Vậy...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 10-02-2022 - 22:04
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh