Giả sử $P(x), Q(x), R(x), S(x)$ là các đa thức thỏa: $P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$. Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$.
Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$
#1
Đã gửi 10-02-2022 - 21:18
#2
Đã gửi 10-02-2022 - 21:48
Giả sử $P(x), Q(x), R(x), S(x)$ là các đa thức thỏa: $P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$. Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$.
Gọi $\varepsilon_i, i=1, 2, \cdots 5,$ là các nghiệm phức phân biệt của phương trình $x^5=1.$ Khi đó, ta có
$$P(1)+\varepsilon_i Q(1)+\varepsilon_i^2R(1)=0$$ với mọi $i=\overline{1,5}.$
Đa thức bậc không vượt quá hai $P(1)+Q(1)z+R(1)z^2$ có hơn 2 nghiệm. Do đó, đa thức này chính là đa thức $0$. Vì thế $P(1)=0.$ Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh.
Đời người là một hành trình...
#3
Đã gửi 10-02-2022 - 21:53
Gọi $\varepsilon_i, i=1, 2, \cdots 5,$ là các nghiệm phức phân biệt của phương trình $x^5=1.$ Khi đó, ta có
$$P(1)+\varepsilon_i Q(1)+\varepsilon_i^2R(1)=0$$ với mọi $i=\overline{1,5}.$
Đa thức bậc không vượt quá hai $P(1)+Q(1)z+R(1)z^2$ có hơn 2 nghiệm. Do đó, đa thức này chính là đa thức $0$. Vì thế $P(1)=0.$ Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh.
Bạn cho mình hỏi làm sao để chứng minh các nghiệm phức đó đều phân biệt vậy bạn?
#4
Đã gửi 10-02-2022 - 21:57
Bạn cho mình hỏi làm sao để chứng minh các nghiệm phức đó đều phân biệt vậy bạn?
Ta có $\epsilon_k= \cos\left(\frac{2k \pi}{5}\right)+i \sin\left(\frac{2k \pi}{5}\right), k=\overline{1,5}.$
Đến đây được rồi phải không bạn?
-----------
Đổi $i$ thành $k$ để tránh nhầm lẫn với số phức đơn vị.
- Math04 yêu thích
Đời người là một hành trình...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh