Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Giả sử $P(x), Q(x), R(x), S(x)$ là các đa thức thỏa: $P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$. Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$.



#2
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Giả sử $P(x), Q(x), R(x), S(x)$ là các đa thức thỏa: $P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$. Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$.

 

Gọi $\varepsilon_i, i=1, 2, \cdots 5,$ là các nghiệm phức phân biệt của phương trình $x^5=1.$ Khi đó, ta có 

$$P(1)+\varepsilon_i Q(1)+\varepsilon_i^2R(1)=0$$ với mọi $i=\overline{1,5}.$

Đa thức bậc không vượt quá hai $P(1)+Q(1)z+R(1)z^2$ có hơn 2 nghiệm. Do đó, đa thức này chính là đa thức $0$. Vì thế $P(1)=0.$ Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh.


Đời người là một hành trình...


#3
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Gọi $\varepsilon_i, i=1, 2, \cdots 5,$ là các nghiệm phức phân biệt của phương trình $x^5=1.$ Khi đó, ta có 

$$P(1)+\varepsilon_i Q(1)+\varepsilon_i^2R(1)=0$$ với mọi $i=\overline{1,5}.$

Đa thức bậc không vượt quá hai $P(1)+Q(1)z+R(1)z^2$ có hơn 2 nghiệm. Do đó, đa thức này chính là đa thức $0$. Vì thế $P(1)=0.$ Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh.

Bạn cho mình hỏi làm sao để chứng minh các nghiệm phức đó đều phân biệt vậy bạn?



#4
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Bạn cho mình hỏi làm sao để chứng minh các nghiệm phức đó đều phân biệt vậy bạn?

 

Ta có $\epsilon_k= \cos\left(\frac{2k \pi}{5}\right)+i \sin\left(\frac{2k \pi}{5}\right), k=\overline{1,5}.$

Đến đây được rồi phải không bạn?

-----------

Đổi $i$ thành $k$ để tránh nhầm lẫn với số phức đơn vị.


Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh