Chủ đề này có 3 trả lời

[Explorer]

Cho a,b,n là các số nguyên dương sao cho $(a,b)=1$. Chứng minh rằng :  $(a-b,\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b})=(n,a-b)$

[huhuhuhu]

bài này hnhu trên group hướng tới hôm bữa có anh nào hỏi nhỉ 

[Hoang72]

Ý tưởng của mình như thế này:

Nếu p là ước nguyên tố lẻ chung của $a-b$ và $n$ thì theo bổ đề LTE, $v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_n\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})=v_p(n)$.

Do đó $v_p(gcd(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b))=\min\{n,v_p(a-b)\}=v_p(gcd(a-b,n))$.

Trường hợp ngược lại cũng tương tự.

Do đó ta chỉ cần xét $a-b$ chẵn hay $a,b$ cùng lẻ.

Nếu $a-b$ chia hết cho 4 thì cũng áp dụng được LTE như trên khi $p=2$.

Ta chỉ cần xét $v_2(a-b)=1$. Khi đó $v_2(a+b)\geq 2$. (Do $a,b$ lẻ)

Khi n chẵn, sử dụng LTE ta có $v_2(a^n-b^n)=v_2(a^2-b^2)+v_2(n)-1=v_2(a+b)+v_2(n)-1\geq 2$

$\Rightarrow v_2(gcd(a-b,\frac{a^n-b^n}{a-b}))=1=v_2(n,a-b)$.

Khi n lẻ, ta cần chứng minh $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ không là số chẵn.

Tuy nhiên n lẻ nên $a^{n-1}\equiv 1\pmod 4\Rightarrow a^n\equiv a\pmod 4$.

Tương tự dẫn đến $v_2(a^n-b^n)=1$. Ta có đpcm.

P/s: Hình như bài toán chỉ cần a, b không cùng chẵn là được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 14-02-2022 - 12:57

[Explorer]

Ý tưởng của mình như thế này:

Nếu p là ước nguyên tố lẻ chung của $a-b$ và $n$ thì theo bổ đề LTE, $v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_n\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})=v_p(n)$.

Do đó $v_p(gcd(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b))=\min\{n,v_p(a-b)\}=v_p(gcd(a-b,n))$.

Trường hợp ngược lại cũng tương tự.

Do đó ta chỉ cần xét $a-b$ chẵn hay $a,b$ cùng lẻ.

Nếu $a-b$ chia hết cho 4 thì cũng áp dụng được LTE như trên khi $p=2$.

Ta chỉ cần xét $v_2(a-b)=1$. Khi đó $v_2(a+b)\geq 2$. (Do $a,b$ lẻ)

Khi n chẵn, sử dụng LTE ta có $v_2(a^n-b^n)=v_2(a^2-b^2)+v_2(n)-1=v_2(a+b)+v_2(n)-1\geq 2$

$\Rightarrow v_2(gcd(a-b,\frac{a^n-b^n}{a-b}))=1=v_2(n,a-b)$.

Khi n lẻ, ta cần chứng minh $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ không là số chẵn.

Tuy nhiên n lẻ nên $a^{n-1}\equiv 1\pmod 4\Rightarrow a^n\equiv a\pmod 4$.

Tương tự dẫn đến $v_2(a^n-b^n)=1$. Ta có đpcm.

P/s: Hình như bài toán chỉ cần a, b không cùng chẵn là được.

 

Ý tưởng của mình như thế này:

Nếu p là ước nguyên tố lẻ chung của $a-b$ và $n$ thì theo bổ đề LTE, $v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_n\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})=v_p(n)$.

Do đó $v_p(gcd(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b))=\min\{n,v_p(a-b)\}=v_p(gcd(a-b,n))$.

Trường hợp ngược lại cũng tương tự.

Do đó ta chỉ cần xét $a-b$ chẵn hay $a,b$ cùng lẻ.

Nếu $a-b$ chia hết cho 4 thì cũng áp dụng được LTE như trên khi $p=2$.

Ta chỉ cần xét $v_2(a-b)=1$. Khi đó $v_2(a+b)\geq 2$. (Do $a,b$ lẻ)

Khi n chẵn, sử dụng LTE ta có $v_2(a^n-b^n)=v_2(a^2-b^2)+v_2(n)-1=v_2(a+b)+v_2(n)-1\geq 2$

$\Rightarrow v_2(gcd(a-b,\frac{a^n-b^n}{a-b}))=1=v_2(n,a-b)$.

Khi n lẻ, ta cần chứng minh $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ không là số chẵn.

Tuy nhiên n lẻ nên $a^{n-1}\equiv 1\pmod 4\Rightarrow a^n\equiv a\pmod 4$.

Tương tự dẫn đến $v_2(a^n-b^n)=1$. Ta có đpcm.

P/s: Hình như bài toán chỉ cần a, b không cùng chẵn là được.

cảm ơn nhiều nhé, mik hiểu rùi