Chủ đề này có 1 trả lời

[nanan]

cho các dố thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{a+b+7c}+\frac{b}{b+c+7a}+\frac{c}{c+a+7b}+\frac{2}{3}.\frac{ab+bc+ca}{a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}}\leq 1$

[KietLW9]

Biến đổi tương đương về dạng bình phương $SOS$, bất đẳng thức tương đương:

$(\frac{1}{9}-\frac{a}{a+b+7c})+(\frac{1}{9}-\frac{b}{b+c+7a})+(\frac{1}{9}-\frac{c}{c+a+7b})+\frac{2}{3}(1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{a+b-2c}{9(a+b+7c)}+\frac{b+c-2a}{9(b+c+7a)}+\frac{c+a-2b}{9(c+a+7b)}+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \left [ \frac{a-b}{9(c+a+7b)}-\frac{a-b}{9(b+c+7a)} \right ]+\left [ \frac{b-c}{9(a+b+7c)}-\frac{b-c}{9(c+a+7b)} \right ]+\left [ \frac{c-a}{9(b+c+7a)}-\frac{c-a}{9(a+b+7c)} \right ]+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{}(a-b)^2(\frac{2}{3(c+a+7b)(b+c+7a)}+\frac{1}{3})\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$