cho các số thực dương a,b,c. CMR:
$\frac{1}{a\sqrt{2(a^{2}+bc)}}+\frac{1}{b\sqrt{2(b^{2}+ca)}}+\frac{1}{c\sqrt{2(c^{2}+ab)}}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$
cho các số thực dương a,b,c. CMR:
$\frac{1}{a\sqrt{2(a^{2}+bc)}}+\frac{1}{b\sqrt{2(b^{2}+ca)}}+\frac{1}{c\sqrt{2(c^{2}+ab)}}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$
cho các số thực dương a,b,c. CMR:
$\frac{1}{a\sqrt{2(a^{2}+bc)}}+\frac{1}{b\sqrt{2(b^{2}+ca)}}+\frac{1}{c\sqrt{2(c^{2}+ab)}}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$
Đặt $P=\frac{1}{a\sqrt{2(a^{2}+bc)}}+\frac{1}{b\sqrt{2(b^{2}+ca)}}+\frac{1}{c\sqrt{2(c^{2}+ab)}},Q=\frac{a^{2}+bc}{a}+\frac{b^{2}+ca}{b}+\frac{c^{2}+ab}{c}$.
Theo BĐT Holder ta có
$$P^{2}\cdot Q\geq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{3}.$$
Cần chứng minh $$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{3}\geq \frac{81}{2(bc+ca+ab)^{2}}Q.$$
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$. BĐT trở thành
$$(x+y+z)^{3}\geq \frac{81xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz+zx+xy)}{2(x+y+z)^{2}},$$
hay $$2(x+y+z)^{5}\geq 81xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz+zx+xy).$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$$(x+y+z)^{6}=[x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(yz+zx+xy)]^{3}\geq 27(x^{2}+y^{2}+z^{2})(yz+zx+xy)^{2},$$
$$(yz+zx+xy)^{2}\geq 3xyz(x+y+z),$$
$$2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz+zx+xy.$$
Nhân theo vế ta có đpcm. $\square$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh