Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{a\sqrt{2(a^{2}+bc)}} \geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
jesica ly

jesica ly

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

cho các số thực dương a,b,c. CMR:

$\frac{1}{a\sqrt{2(a^{2}+bc)}}+\frac{1}{b\sqrt{2(b^{2}+ca)}}+\frac{1}{c\sqrt{2(c^{2}+ab)}}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$



#2
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

cho các số thực dương a,b,c. CMR:

$\frac{1}{a\sqrt{2(a^{2}+bc)}}+\frac{1}{b\sqrt{2(b^{2}+ca)}}+\frac{1}{c\sqrt{2(c^{2}+ab)}}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

Đặt $P=\frac{1}{a\sqrt{2(a^{2}+bc)}}+\frac{1}{b\sqrt{2(b^{2}+ca)}}+\frac{1}{c\sqrt{2(c^{2}+ab)}},Q=\frac{a^{2}+bc}{a}+\frac{b^{2}+ca}{b}+\frac{c^{2}+ab}{c}$.

Theo BĐT Holder ta có

$$P^{2}\cdot Q\geq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{3}.$$

Cần chứng minh $$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{3}\geq \frac{81}{2(bc+ca+ab)^{2}}Q.$$

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$. BĐT trở thành

$$(x+y+z)^{3}\geq \frac{81xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz+zx+xy)}{2(x+y+z)^{2}},$$

hay $$2(x+y+z)^{5}\geq 81xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz+zx+xy).$$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$$(x+y+z)^{6}=[x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(yz+zx+xy)]^{3}\geq 27(x^{2}+y^{2}+z^{2})(yz+zx+xy)^{2},$$

$$(yz+zx+xy)^{2}\geq 3xyz(x+y+z),$$

$$2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz+zx+xy.$$

Nhân theo vế ta có đpcm. $\square$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh