Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x y^{2}+x=\sqrt[3]{1-3 x y^{2}}+1 \\ y+x \sqrt{3}=... \end{matrix}\right.$

- - - - - hpt hephuongtrinh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
NAT

NAT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x y^{2}+x=\sqrt[3]{1-3 x y^{2}}+1 \\ y+x \sqrt{3}=\sqrt[3]{2-3 x^{2} y}+\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}} \end{matrix}\right.$, với $x, y \in \mathbb{R}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NAT: 26-02-2022 - 08:15


#2
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

ĐKXĐ: $\frac{2}{y}-y^{2}\geq 0 \Leftrightarrow 0< y\leq \sqrt[3]{2}$

Từ PT (1) dễ dàng thấy : $x^{3}+x=1-3xy^{2}+\sqrt[3]{1-3xy^{2}}$ $\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{1-3xy^{2}}\Leftrightarrow x^{3}+3xy^{2}=1$    ( 3 )

Đến đây ta có : $y^{2}=\frac{1-x^{3}}{3x}$ , vì $y^{2}\geq 0$ nên ta có ĐK của x là $0< x\leq 1$

Từ PT (2) $\Leftrightarrow y-\sqrt[3]{2-3x^{2}y}=\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}}-x\sqrt{3}$$\Leftrightarrow \frac{y^{3}-2+3x^{2}y}{y^{2}+y\sqrt[3]{2-3x^{2}y}+\sqrt[3]{(2-3x^{2}y)^{2}}}=\frac{\frac{2}{y}-y^{2}-3x^{2}}{\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}}+x\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{y^{3}-2+3x^{2}y}{y^{2}+y\sqrt[3]{2-3x^{2}y}+\sqrt[3]{(2-3x^{2}y)^{2}}}=\frac{2-y^{3}-3x^{2}y}{y(\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}}+x\sqrt{3})}$

$\Leftrightarrow (y^{3}-2+3x^{2}y)(\frac{1}{y^{2}+y\sqrt[3]{2-3x^{2}y}+\sqrt[3]{(2-3x^{2}y)^{2}}}+\frac{1}{y\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}}+x\sqrt{3}})=0$

Suy ra $y^{3}-2+3x^{2}y=0$   (4)   

( với ĐK của x,y ta đã có dễ dàng CM cái cụm dài dài kia luôn > 0 )

Từ (3) , (4) ta có HPT : $\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2}=1 & \\ y^{3}+3x^{2}y=2 & \end{matrix}\right.$

Áp dụng cộng vế- vế; và trừ vế vế ta có : $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}=3 & \\ (x-y)^{3}=-1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt[3]{3} & \\ x-y=-1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt[3]{3}-1}{2} & \\ y=\frac{\sqrt[3]{3}+1}{2} & \end{matrix}\right.$

 

~O)  ~O)  ~O)

 


Dư :unsure: Hấu   






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hpt, hephuongtrinh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh