Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Hình học sưu tầm

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 27-02-2022 - 09:45

Chào mọi người, để thuận tiện cho việc lưu trữ và thảo luận thì mình xin phép đăng lại các bài toán hình học mà mình sưu tầm được. Mọi người có thể thảo luận lời giải thoải mái, các bài toán sẽ do mình đề xuất. Cảm ơn mọi người !

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm bất kì trên mặt phẳng. Các đường thẳng $A P, B P, C P$ giao $(O)$ lần thứ hai tại $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Gọi $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ qua các cạnh $B C, C A, A B$. Chứng minh rằng $H, A_{1}, B_{1}, C_{1}$ cùng thuộc một đường tròn.



#2 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 27-02-2022 - 11:48

Bài 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp $\displaystyle ( O)$ có trực tâm $\displaystyle H$. Lấy $\displaystyle X,Y$ lần lượt là giao điểm của $\displaystyle BH,CO$ và $\displaystyle CH,BO$. Chứng minh $\displaystyle OL$ chia đôi $\displaystyle XY$ với $\displaystyle L$ là điểm Lemoine trong tam giác $\displaystyle ABC$



#3 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Cờ tướng

Đã gửi 27-02-2022 - 20:42

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm bất kì trên mặt phẳng. Các đường thẳng $A P, B P, C P$ giao $(O)$ lần thứ hai tại $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Gọi $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ qua các cạnh $B C, C A, A B$. Chứng minh rằng $H, A_{1}, B_{1}, C_{1}$ cùng thuộc một đường tròn.

Hình gửi kèm 

hình bai 1,1.png

 

Gọi Q là điểm liên hợp đẳng giác của P ứng với $\Delta$ABC; X, Y, Z lần lượt là đối xứng của A, B, C qua Q;

A3, B3,C3 lần lượt là giao điểm thứ hai của AQ, BQ, CQ với (O); A4B4C4 là tam giác trung tuyến của $\Delta$ABC.

Phép đối xứng tâm Q lần lượt biến A thành X, B thành Y, C thành Z suy ra $\Delta$ABC → $\Delta$XYZ.

Do A4B4C4 là tam giác trung tuyến của $\Delta$ABC nên tồn tại một điểm K là tâm của phép vị tự tỉ số 1: 2 biến $\Delta$XYZ thành $\Delta$A4B4C4.

Mặt khác, gọi L là giao điểm thứ hai của A1A2 với (O). suy ra AL $\parallel$ HA2.

Mà LA1 vuông góc với BC và A3A1 song song với BC nên A3A1⊥ LA1, suy ra AA3 ⊥ AL hay AA3 ⊥ HA2.

Do A4 là trung điểm của A2A3 nên XA2KA3 là hình bình hành. Nghĩa là KA2 $\parallel$  AA3.

Vậy KA2⊥ HA2 hay A2 nằm trên đường tròn đường kính KH.

Chứng minh tương tự suy ra đpcm.

 

P/s: Mình có đáp án mà trả hiểu gì  :mellow: 

 

~O)  ~O)  ~O) 

 


Death is like the wind, always by my side  :ph34r:


#4 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 05:45

 một cách khác, mình sưu tầm hồi lâu trên blog của telv cohl https://artofproblem...c284651h1272116



#5 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 05:48

Bài 3.Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I) . H, K$ lần lượt là trực tâm tam giác $A B C, B I C . H K$ cắt $A I$ tại $L$. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $K L I$. Chứng minh rằng $O$ nằm trên trục đẳng phương của $(I)$ và $(J I K)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 28-02-2022 - 05:48


#6 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 06:28

Bài 4.Cho đường tròn $(\mathrm{O})$ cố định và dây cung $\mathrm{BC}$ khác đường kính, lấy $\mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC}$. $\mathrm{A}$ di chuyển trên cung lớn $\mathrm{BC}, \mathrm{AM}$ cắt $(\mathrm{O})$ ở $\mathrm{K}$. Đường tròn nội tiếp I tiếp xúc $\mathrm{BC}$ ở $\mathrm{D}, \mathrm{KD}$ cắt lại (O) ở S. Lấy $E$ là điểm chính giữa cung $AC$ không chứa $B$ và $SE$ cắt  $AC$ ở $L$, chứng minh $IL$luôn qua một điểm cố định khi $\mathrm{A}$ di chuyển.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 28-02-2022 - 09:56


#7 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 09:17

Trước hết ta phát biểu một bổ đề : $OL$ đi qua trực tâm của $DEF$ trong đó $L$ là điểm Lemoine của $ABC$
Gọi T' là điểm đối xúng của T qua BC. Ta có $\frac{A N}{M T}=\frac{N L}{L M}=\frac{N D}{T^{\prime} M}$ nên $D, L, T^{\prime}$ thẳng hàng Goi J là giao điểm của $DL$ với $AO$. Theo định ly Thalet ta có
$\frac{D L}{D J}=\frac{D L}{D T^{\prime}}, \frac{D T^{\prime}}{D J}=\frac{A D}{A D+T T^{\prime}} . \frac{A D+T^{\prime} O}{A D}=\frac{A D+T^{\prime} O}{A D+T T^{\prime}}=1-\frac{O T}{A D+T T^{\prime}}=1-\frac{R^{2}}{\left(A D+T T^{\prime}\right) O M}$
$=1-\frac{R^{2}}{(2 . O M+2 M T+H D) O M}=1-\frac{R^{2}}{2 O M . O T+\frac{1}{4}\left(R^{2}-O H^{2}\right)}=k$ là môt tỉ số cố định. Lấy $K$ sao cho $\frac{K L}{K O}=k$ thì
$D K$ song song $A O$ và vuông góc $F E$. Tương tự ta có điều phải chứng minh. Đến đây ta gọi $H'$ là trực tâm của $DEF$ thì dễ dàng chứng minh $H'OXY$ là hình bình hành.
 
274565914_493487568935945_79604927155180

 

Bài 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp $\displaystyle ( O)$ có trực tâm $\displaystyle H$. Lấy $\displaystyle X,Y$ lần lượt là giao điểm của $\displaystyle BH,CO$ và $\displaystyle CH,BO$. Chứng minh $\displaystyle OL$ chia đôi $\displaystyle XY$ với $\displaystyle L$ là điểm Lemoine trong tam giác $\displaystyle ABC$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 28-02-2022 - 09:58


#8 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 09:19

 

Trước hết ta phát biểu một bổ đề : $OL$ đi qua trực tâm của $DEF$ trong đó $L$ là điểm Lemoine của $ABC$
Gọi T' là điểm đối xúng của T qua BC. Ta có $\frac{A N}{M T}=\frac{N L}{L M}=\frac{N D}{T^{\prime} M}$ nên $D, L, T^{\prime}$ thẳng hàng Goi J là giao điểm của $D
L$ với $A O$. Theo định ly Thalet ta có
$\frac{D L}{D J}=\frac{D L}{D T^{\prime}}, \frac{D T^{\prime}}{D J}=\frac{A D}{A D+T T^{\prime}} . \frac{A D+T^{\prime} O}{A D}=\frac{A D+T^{\prime} O}{A D+T T^{\prime}}=1-\frac{O T}{A D+T T^{\prime}}=1-\frac{R^{2}}{\left(A D+T T^{\prime}\right) O M}$
$=1-\frac{R^{2}}{(2 . O M+2 M T+H D) O M}=1-\frac{R^{2}}{2 O M . O T+\frac{1}{4}\left(R^{2}-O H^{2}\right)}=k$ là môt tỉ số cố định. Lấy $K$ sao cho $\frac{K L}{K O}=k$ thì
$D K$ song song $A O$ và vuông góc $F E$. Tương tự ta có điều phải chứng minh. Đến đây ta gọi $H'$ là trực tâm của $DEF$ thì dễ dàng chứng minh $H'OXY$ là hình bình hành.
 
274565914_493487568935945_79604927155180

 

https://artofproblem...219170p16859208

bài gốc trên aops mọi người có thể tham khảo



#9 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 09:27

Bài 4.Cho đường tròn $(\mathrm{O})$ cố định và dây cung $\mathrm{BC}$ khác đường kính, lấy $\mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC}$. $\mathrm{A}$ di chuyển trên cung lớn $\mathrm{BC}, \mathrm{AM}$ cắt $(\mathrm{O})$ ở $\mathrm{K}$. Đường tròn nội tiếp I tiếp xúc $\mathrm{BC}$ ở $\mathrm{D}, \mathrm{KD}$ cắt lại (O) ở S. Lấy E là điểm chính giữa cung AC không chứa B và SE cắt AC ở L, chứng minh IL luôn qua một điểm cố định khi $\mathrm{A}$ di chuyển.

Bổ đề : (MMO SL 2016 G2) Goi T, Ylà giao điểm của đưòng thẳng qua Ivuông góc AI. Khi đó $S, T, Y, A$ đồng viên.
Dân tới $\frac{S B}{S C}=\frac{B Y}{C T}(t \hat{a} m v i$ tư). Do YI vuông AI nên YI là tiếp tuyến của (BIC), trơng tư IT. Do đó BYI đồng dang BIC hay BY= $\frac{B I^{2}}{B C}$, turong tụ với CT. Từ đây suy ra
$\frac{S B}{S C}=\left(\frac{I B}{I C}\right)^{2}$ Goi Plà điểm chính giū̃a cung $A B$ nho. $K h i$ đó theo định lý Pascal cho
luc giác $A B C P E S$ thì $S P$ cắt $A B$ tai $V, S E$ cắt $A C$ tai $L, C P, B E$ cắt nhau tai I->V,I,L thẳng hàng. Mạt khác theo định ly Menelaus cho tam giác ABC, cát tuyến VUL thì. $\frac{L A}{L C} \cdot \frac{V B}{V A} \cdot \frac{U C}{U B}=1$
$\frac{S A}{S C} \cdot \frac{S B}{S A}=\frac{U B}{U C}=\frac{S B}{S C}=\frac{\frac{\sin A C B}{2}}{\frac{\sin A B C}{2}}^{2}=\frac{I B}{I C}^{\wedge} 2$ tức là IU là đối trung của BIC hay VL đi qua điểm chính giũa cung BAC của (O).
 
 
274185196_646664069941462_73562602664298

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 28-02-2022 - 09:52


#10 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 09:28

Bài 5. Đề chọn đội tuyển quốc gia SP 2020 vòng 2 :

Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ nội tiểp $(\mathrm{O})$. $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{BC}$ và $\mathrm{OA}$. Ta lấy $\mathrm{D}$ thuộc $\mathrm{MC}, \mathrm{D}$ khác $\mathrm{M}$ và $\mathrm{C}$. Qua $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ kè vuông góc với $\mathrm{AD}$ lần lượt tại $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$. Đường thẳng qua $\mathrm{E}$ song song với $\mathrm{AB}$ cắt đường thẳng qua $\mathrm{F}$ song song vở $\mathrm{AC}$ tại $\mathrm{G}$. Gọi I Ià tâm ngoại tiểp tam giác $\mathrm{EGF}$. $\mathrm{CMR}$ $NI=NM$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 28-02-2022 - 09:52


#11 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 09:54

một bài hay, nhẹ nhàng

Bài 6. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp đường tròn $\displaystyle ( O)$, các đường cao $\displaystyle BH_{b} ,CH_{c}$ giao nhau tại trực tâm $\displaystyle H$. $\displaystyle H_{b} H_{c}$ cắt $\displaystyle BC$ tại $\displaystyle P$. $\displaystyle N$ là trung điểm $\displaystyle AH$, $\displaystyle L$ là hình chiếu của $\displaystyle O$ lên đối trung đỉnh $\displaystyle A$ của $\displaystyle ABC$. Chứng minh $\displaystyle \angle NLP=90^{0}$



#12 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 14:45

Bài 7.  Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H . P$ là điểm bất kì trên $O H$. Gọi $B^{\prime}, C^{\prime}$ lần lượt là điểm đối xứng của $B, C$ qua $O H . B^{\prime} P$ cắt $A C$ tại $X, C^{\prime} P$ cắt $A B$ tại $Y$. Chứng minh rằng điểm đối xứng với $H$ qua $X Y$ nằm trên $(O)$.



#13 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 28-02-2022 - 21:10

Bài 8. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có $\displaystyle X,Y$ và $\displaystyle Z,T$ là hai cặp điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác $\displaystyle ABC$. Xét $\displaystyle XZ$ giao $\displaystyle TY$ tại $\displaystyle Q$, $\displaystyle XT$ giao $\displaystyle ZY$ tại $\displaystyle P$. Chứng minh $\displaystyle P,Q$ cũng là một cặp liên hợp đẳng giác trong $\displaystyle ABC$

 
Bài 9. Cho tam giác $\displaystyle ABC$, trực tâm $\displaystyle H$, tâm ngoại tiếp $\displaystyle ( O)$. $\displaystyle K$ là trực tâm $\displaystyle AOH$. Chứng minh liên hợp đẳng giác của $\displaystyle K$ trong $\displaystyle ABC$ nằm trên $\displaystyle OH$.


#14 DaiphongLT

DaiphongLT

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:GFN

Đã gửi 08-03-2022 - 01:49

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Các đường cao $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ đồng quy tại $H$. $P$ là điểm bất kì trên $OH$. $AP$, $BP$, $CP$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_2$, $B_2$, $C_2$. $A_3$, $B_3$, $C_3$ là các điểm đối xứng với $A_2$, $B_2$, $C_2$ qua $A_1$, $B_1$, $C_1$. Chứng minh $H$, $A_3$, $B_3$, $C_3$ đồng viên.
Góp cho bạn bài toán có cấu hình gần giống bài 1



#15 narutosasukevjppro

narutosasukevjppro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng
  • Sở thích:Số học

Đã gửi 18-06-2022 - 11:39

h nghỉ hè nên mình sẽ đăng tiếp 1 số bài để mọi người cùng thảo luận nhé :))

Bài 10.Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp đường tròn $\displaystyle ( O)$ có $\displaystyle T$ là điểm chính giữa cung $\displaystyle BC$ lớn. $\displaystyle H$ là trực tâm của $\displaystyle ABC$. Đường thẳng qua $\displaystyle H$ song song $\displaystyle AT$ cắt $\displaystyle AB,AC$ tại $\displaystyle E,F$. Gọi $\displaystyle R$ là giao điểm của $\displaystyle BF,CE$. Chúng minh $\displaystyle HT\cap JR$ trên $\displaystyle ( O)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 18-06-2022 - 11:42






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh