ĐỀ LUYỆN CHUYÊN TOÁN - ĐỀ SỐ 11
Câu 1:
a) Cho phương trình $|(x^2-1)^2+2m^2-2m+2|+m^2-2m-2=0$ với $m$ là một tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho phương trình trên có một số lẻ các nghiệm thuộc đoạn $[-2;2]$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}xy=x+2y+3 & \\ 4x^3-y^3=24x^2-45x+15y+41 \end{matrix}\right.$
Câu 2:
a) Chứng minh rằng nếu $2n$ là tổng của hai số chính phương lớn hơn $1$ phân biệt thì $n^2+2n$ viết được dưới dạng tổng của bốn số chính phương lớn hơn $1$ phân biệt
b) Tìm các số thực $x$ sao cho $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$ là số nguyên
c) Tồn tại hay không các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $7^x+24^x=y^2$
Câu 3: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ cố định, $C$ là điểm di động trên nửa đường tròn sao cho $CA<CB$. $BC$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ ở $T$. $N$ là điểm trên cung nhỏ $AC$. Đường tròn tâm $T$ bán kính $TA$ cắt tiếp tuyến tại $N$ của $(O)$ ở $X,Y$. Chứng minh rằng $(TXY)$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $C$ và $N$ di động.
Câu 4: Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB>AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A$ của $\Delta ABC$. $P$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$ chứa $A$, $PI_a$ cắt $(O)$ tại $K$. $D,E,F$ là tiếp điểm của $(I)$ lên $BC,AC,AB$
a) Chứng minh rằng: $\angle KAI=\angle DAI$
b) Gọi $X$ là hình chiếu của $D$ lên $EF$, trung trực của $BC$ cắt $EF$ tại $Y$. Chứng minh rằng tứ giác $BYXC$ nội tiếp
c) Gọi $L$ là giao điểm của $OI$ với $DP$. Chứng minh rằng $A,L,K$ thẳng hàng
Câu 5:
a) Với mọi số thực $x$ thỏa mãn $0\leqslant x\leqslant 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\sqrt{x+x^3}+\sqrt{x-x^3}$
b) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1 $. Chứng minh rằng: $$ \sqrt{a^2+2a}+\sqrt{b^2+2b}+\sqrt{c^2+2c} \ge \sqrt{a^2+b^2+c^2+24} $$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 24-04-2022 - 09:54