Cho a,b nguyên dương sao cho $a+b^3\vdots a^2+3ab+3b^2-1$
CMR $a^2+3ab+3b^2-1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.
CMR $a^2+3ab+3b^2-1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.
Bắt đầu bởi
jupiterhn9x
, 02-03-2022 - 18:55
#2
Đã gửi 05-03-2022 - 14:39
nhungvienkimcuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 675 Bài viết
Thiếu úy
Cho a,b nguyên dương sao cho $a+b^3\vdots a^2+3ab+3b^2-1$
CMR $a^2+3ab+3b^2-1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.
Đặt $T=a^2+3ab+3b^2-1$, khi đó
\[T\mid a+b^3+a(a^2+3ab+3b^2-1)\]
hay $T\mid (a+b)^3\quad$ $(\ast)$. Giả sử ta có phân tích thành thừa số nguyên tố như sau
\[a+b=\prod_{i=1}^kp_i^{c_i}\ (c_i>0)\quad \text{và}\quad T=\prod_{i=1}^kp_i^{t_i}\ (t_i\ge 0).\]
Từ $(\ast)$ suy ra $t_i\le 3c_i$. Giả sử $T$ không chia hết cho số nguyên nào có dạng $c^3\ (c>1)$ thì $t_i\in \{0,1,2\}$ với mọi $i=\overline{1,k}$, do vậy ta có
\[t_i\le 2\le 2c_i,\ \forall i=\overline{1,k}\implies T\mid (a+b)^2.\]
Từ đây dễ thấy mâu thuẫn vì $(a+b)^2<T$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 05-03-2022 - 14:44
- jupiterhn9x, DOTOANNANG và Hoang72 thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
