Bài dịch dưới đây lấy nguồn từ, learn and relearn your field, mình sẽ chỉ tập hợp một số bình luận mình thấy có ích.
Học và học lại ngành của bạn
Terence Tao:
"Ngay cả những sinh viên khá tốt, khi họ tìm được lời giải của bài toán và trình bày lại nó một cách gọn gàng, họ gập sách lại và làm một điều gì khác. Làm như vậy, họ đã bỏ lỡ một giai đoạn quan trọng và có tính định hướng của công việc... Một người thầy giỏi nên hiểu và gây ấn tượng để sinh viên của ông ấy hiểu rằng không có bài toán nào có thể bị vét cạn hoàn toàn. Một trong những nhiệm vụ đầu tiên và quan trọng nhất của người thầy là không được làm cho sinh viên có ấn tượng rằng các vấn đề toán học không có mấy kết nối với nhau, và hoàn toàn không có kết nối gì với những thứ khác. Chúng ta có một cơ hội tự nhiên để khảo sát lại bài toán khi ta xem lại lời giải của nó."
George Polýa, Làm thế nào để giải nó.
Học là không bao giờ có điểm dừng, kể cả trong chuyên ngành mà bạn đã chọn; ví dụ thì tôi vẫn học những điều gây bất ngờ về giải tích điều hòa cơ bản, hơn mười năm sau khi tôi viết xong luận án của mình về chủ đề này.
Chỉ vì bạn biết phát biểu và chứng minh của một Bổ Đề Cơ Bản X không có nghĩa rằng bạn nên bỏ qua nó; thay vào đó, bạn nên đào sâu hơn tới chừng nào bạn thật sự hiểu về bổ đề đó:
- Bạn có thể tìm các chứng minh khác không?
- Nếu bạn biết hai chứng minh, bạn có biết hai chứng minh này tương đương tới mức nào không? Chúng có mở rộng theo các hướng khác nhau không? Có những điểm chung gì ở hai chứng minh? Điểm mạnh và yếu của từng chứng minh là gì?
- Bạn có hiểu tại sao từng chi tiết trong giả thiết lại cần thiết không?
- Những mở rộng nào đã được biết/ phỏng đoán/ heuristic?
- Có phiên bản nào yếu và đơn giản hơn nhưng vừa đủ cho ứng dụng không?
- Có những ví dụ cụ thể nào về bổ đề này để thực hành?
- Khi nào thì dùng bổ đề này, khi nào không?
- Kiểu bài toán nào bổ đề này có thể giải và kiểu bài toán nào mà nó không đóng góp gì?
- Có phiên bản tương tự nào của bổ đề này trong các lĩnh vực khác của toán học hay không?
- Bổ đề này có nằm trong một mô hình hay một chương trình nào lớn hơn không?
Một cách hiệu quả khác để học nhiều hơn về một ngành là nhặt lấy một bài báo cốt lõi, nền tảng của ngành này, sau đó tìm theo các trích dẫn trong bài báo (i.e. tìm các bài báo trích dẫn bài báo cốt lõi). Ngày nay có rất nhiều công cụ để tìm trích dẫn nghiên cứu; ví dụ, MathsciNet có chức năng này, và thậm chỉ chỉ một tìm kiếm thông thường cũng có thể tìm được một số thứ mà trước đó ta không ngờ tới.
Anonymous:
Thưa giáo sư Tao,
Đầu tiên, tôi xin cảm ơn vì những lời khuyên và những hướng dẫn hữu ích của giáo sư. Theo đó, tôi muốn hỏi giáo sư về một vấn đề nghiêm trọng mà tôi đang đối mặt và hy vọng giáo sư có thể giúp tôi: tôi là một sinh viên PhD và ngành của tôi là hình học đại số số học (arithmetic algebraic geometry). Như giáo sư biết, ngành này rất rộng. Nên nếu tôi muốn học nó và cày cuốc qua tất cả các chi tiết trong các chứng minh thì tôi đoán, tôi sẽ không bao giờ (i.e. trong một khoảng thời gian giới hạn) có thời gian để làm việc với bài toán mình đang nghiên cứu và sẽ không có bất cứ một kết quả nào đạt được. Nhưng, không học và đọc luôn cho tôi cảm giác tôi bỏ lỡ và tôi sẽ mất tự tin vì điều đó.
Tôi sẽ rất cảm kích nếu giáo sư có thể cho tôi vài lời khuyên. Xin cảm ơn trước.
Matthew Emerton:
Gửi Anonymous,
Tôi hy vọng bạn sẽ ok với việc có người khác trả lời câu hỏi của bạn thay vì giáo sư Tao.
Hầu hết những người làm việc trong ngành hình học đại số số học (không chỉ sinh viên) chịu đựng vấn đề mà bạn mô tả tới một mức độ nào đó. Ngành học là thực sự rộng, và để đọc hết mọi thứ với tư cách là một sinh viên, ngay cả chỉ những thứ mà bạn cần để giải bài toán của mình, là vô cùng bất khả thi.
Tôi sẽ gợi ý vài điều sau: một nền tảng tốt trong hình học đại số là bắt buộc. Hầu hết sinh viên trong ngành hình học đại số, tất cả mọi cấp độ, phải trải qua cái nghi thức thông hành tên là "Hartshorne": tức là đọc cuốn sách của Hartshorne, chủ yếu là chương 2 và 3, và giải rất nhiều bài tập trong đó. Nếu trốn tránh làm điều này thì ít nhiều là không thể, và trong nhiều trường hợp là không khôn ngoan. Và một khi bạn đã giải nhiều/hầu hết bài tập trong Hartshorne, bạn sẽ có thêm chút tự tin trong hình học đại số, lý thuyết lược đồ (scheme theory) và đối đồng điều (cohomology).
Cùng lúc đó, có những cuốn sách khác cũng nên được ngó qua vì chúng nhấn mạnh vào một số khía cạnh cụ thể hơn là Hartshorne, những khía cạnh đặc biệt quan trọng trong hình học đại số số học - ví dụ như red book của Mumford. Bạn nên đọc song song Hartshorne cùng một số cuốn như vậy.
Một cuốn sách chuẩn mực khác để đọc là Cornell-Silverman (ngày nay, phụ thuộc vào hướng đi yêu thích của bạn, có thể là Cornell-Silverman-Stevens - nhưng cái này mang tính số học hơn trong khi Cornell-Silverman có tính hình học). Đây không phải là một cuốn sách dài, và nó chứa rất nhiều thông tin. Hơn nữa, nó được viết ra để giải trình chứng minh của Faltings và giả thuyết Mordell & Tate, bạn sẽ thấy cách cỗ máy hình học hoạt động để giải một bài toán cụ thể. Như đã nói hơn một lần, điều này là quan trọng. (và tôi nên bổ sung rằng không cần thiết để đọc hết cả cuốn - ví dụ, bên dưới tôi sẽ nói rằng nên bỏ qua chương về mô hình Neron, trừ khi bạn thực sự không muốn vậy)
Một điều mà tôi sẽ khuyên là *không* nên làm với hầu hết sinh viên, là đọc quá nhiều EGA và SGA. Nó sẽ ngốn rất nhiều thời gian, và nó thực sự nguy hiểm nếu mọi sự không đi đến đâu. Cụ thể, để an toàn, khi bắt đầu sự nghiệp, bạn nên học về đối đồng điều etale nhưng chỉ như một hộp đen. (về sau, nếu bạn cần những chi tiết cụ thể rằng nó được xây dựng như thế nào, bạn có thể quay lại và học chúng.)
Điều đáng giá *là*, hiểu rõ về đối đồng điều bó (sheaf cohomology) trong ngôn ngữ cổ điển. (Phần bắt đầu cuốn sách của Borel về đồng điều giao (intersection homology), mà sao cùng là về các bó perverse, và vân vân, nhưng nó bắt đầu với bó constructible và sáu toán tử của Grothendieck là một chỗ để làm điều này.) Điều nhấn mạnh là *hầu hết* ứng dụng của đối đồng điều etale chỉ sử dụng hình thức luận lý thuyết bó (sheaf theoritic formalism) như người ta làm trong ngôn ngữ cổ điển (i.e. các đa tạp trên trường phức, với topo phức của chúng), và các định lý mang tính kĩ thuật chính ở đây (đổi cơ sở riêng (proper base-change), tính acyclic trơn (smooth acyclicity), chu trình triệt tiêu và nearby (vanishing and nearby cycles)) chính xác được định hướng để chứng minh đối đồng điều etale, bó etale constructible, và sáu toán tử của Grothendieck trong ngôn ngữ etale hoạt động giống hệt như trong ngôn ngữ cổ điển. Do đó nếu một người hiểu ngôn ngữ cổ điển tốt, anh ta sẽ đủ tự tin rằng trực giác của mình có thể áp dụng trong ngôn ngữ etale.
Một điều rất đáng học là bài báo đầu tiên của Deligne về các giả thuyết Weil. Bạn sẽ thấy cách ông ấy dùng đối đồng điều etale để chứng minh một định lý khủng khiếp, và bạn sẽ thấy hầu như những gì ông ấy dùng là những tính chất có một phiên bản giống hệt (và không quá khó để chứng minh) trong ngôn ngữ cổ điển. Do đó có một trực giác tốt về lý thuyết bó cổ điển sẽ giúp bạn hiểu được rất nhiều chứng minh.
Ở khía cạnh tiếp theo, tôi muốn quay lại điểm tôi đã nói ở trên: một cách để học một lĩnh vực là, thay vì học các chi tiết kí thuật và nền tảng, thì ta học xem cách chúng được dùng để giải các vấn đề như thế nào. Ví dụ, lý thuyết Hodge p-adic là một công cụ khác đóng vai trò rất quan trọng trong hình học đại số số học, và nó đòi hỏi một nền tảng kĩ thuật đáng gờm. Nhưng, cũng giống như đối đồng điều etale, nó có một hình thức luận đẹp đẽ để người ta có thể sử dụng mà không cần quá lo ngại về các chứng minh và toàn bộ nền tảng lý thuyết.
Các mô hình Neron của các đa tạp abel cũng tương tự: người ta hầu như không bao giờ dùng gì liên quan đến xây dựng của chúng (người ta chỉ cần biết chúng tồn tại) khi sử dụng chúng. Nên hoàn toàn an toàn khi ta xem các xây dựng của chúng như một cái hộp đen. (và nếu bạn thật sự cần các xây dựng này, có một bài báo về nó trong Cornell-Silverman.) Điều quan trọng là hiểu rằng sự tồn tại của chúng được dùng như một công cụ trong các lập luận khác. Vì nền tảng toán học của riêng tôi, chỗ tự nhiên nhất để tôi chỉ ra là nhánh học về đường cong modular, và dạng modular bởi Mazur, Ribet, và Wiles. Nói riêng, một vài tiết đầu tiên trong Inventiones 100 article của Ribet đưa ra một ví dụ rất tốt về cách mà cả trăm trang lý thuyết (rất nhiều về mô hình Neron, a một chút SGA 7) được tóm tắt trong 10 trang "kiến thức để làm việc".
Nếu bạn hỏi những người khác, họ có thể đưa ra những tham khảo khác tương tự cho những chủ đề mà bạn cần, tóm gọn "tất cả những thứ bạn cần" chỉ trong một số ít trang giấy, hơn là cả trăm trang giấy của các nguồn gốc.
Cuối cùng, bạn làm gì để xây dựng sự tự tin của mình sau khi bạn đã bỏ hững cả trăm trang giấy như vậy?
Về điều này, nên nhớ rằng dù trong trường hợp nào thì các nhà nghiên cứu toán học không bao giờ có mục đích tối hậu và đọc và học toán (dù cho phải làm vậy), nhưng là làm toán. Nên theo một nghĩa nào đó sự tự tin của bạn như một nhà toán học (ít nhất trên lý thuyết) là một cái gì đó hơi trực giao với những chứng minh cơ bản mà bạn đã tích lũy được.
Điều bạn cần, (như tôi đã nói bên trên) đó là hiểu cách một số kĩ thuật quan trọng được sử dụng để giải các vấn đề thú vị.
Một cách để làm điều này là bắt đầu càng sớm càng tốt nhảy vào lãnh địa nghiên cứu.
Người hướng dẫn của bạn có thể gợi ý các bài báo, và (phụ thuộc vào điều bạn thích) bạn có thể chọn một số "kinh điển" cho riêng bạn: bài báo đầu tiên của Deligne về các giải thuyết Weil, bài báo Inventiones 100 của Ribet, bài báo của Faltings trong Cornell-Silverman, bài báo của Serre ở Duke 54 về các giả thuyết của ông cho dạng modular, biểu diễn Galois, hoặc bất kì cái nào khác. Cố gắng tìm bài báo hấp dẫn với bạn, dĩ nhiên đảm bảo nó được viết tốt, và bạn cảm giác có thể thu được chút hiểu biết nào từ đó (ít nhất là phát biểu của định lý chính) - nhưng đừng hy vọng hiểu hầu hết các kĩ thuật cốt lõi của bài báo ngay từ ban đầu. Mục tiêu của bạn là lấy được chút cảm giác rằng làm thế nào có thể điều phối mọi nguồn lực của lý thuyết trừu tượng để giải các vấn đề cụ thể, bằng cách xem người ta làm nó. Nó sẽ cần nhiều thời gian và kiên nhẫn, và nghiên cứu cẩn thận để làm vậy - nhưng nói cho cùng thì điều đó đáng để làm.
Một điều đáng chú ý khác là trích dẫn - nó có thể dẫn bạn tới các nguồn khác chứa các kiến thức nền tảng cần thiết. Đeo bám kiến thức nền cần thiết bằng cách đi từ trên xuống thì thường hiệu quả hơn xây mọi thứ từ dưới lên. (điển hình thì nếu các nhà toán học cần học một cái gì đó mới - họ bắt đầu với một bài báo mà họ thích, và sau đó đi ngược về nền tảng một cách vừa đủ để lấp đầy những chi tiết mà họ không hiểu chỉ bằng việc đọc bài báo gốc.)
Một cách quan trọng khác để tự tin hơn (hiệu quả hơn học lý thuyết mới nhiều!) là tự tay bạn giải bài toán. Bạn có thể bắt đầu với đống bài tập trong Hartshorne, cũng như bất cứ bài tập nào mà bạn thấy xung quanh. Nhưng một số lúc bạn sẽ cần những vấn đề chuyên môn hơn để làm. Bạn có thể hỏi người hướng dẫn của mình một bài toán để tự giải. (một số người hứng dẫn làm điều này: thay vì bắt đầu với một bài toán mang tính nghiên cứu để viết luận án, họ giúp sinh viên của mình giải những bài toán nhỏ, dễ kiểm soát hơn.)
Nhưng nói cho cùng, một khi bạn bước vào nghiên cứu, bạn sẽ không bao giờ hết nguồn cung bài toán: lấy bất kì bài báo nào và xem nó, tìm một bổ đề kĩ thuật mà bạn có thể hiểu giả thiết, và xem xem bạn có tự chứng minh được bổ đề này không. Cố gắng không "ăn gian" bằng cách đọc chứng minh có sẵn (nhưng bạn cũng có thể liếc xem bên dưới có gì, chỉ để đảm bảo chứng minh của cái bổ đề không tới tận 5 trang). Nhưng, nếu bạn không thể chứng minh nó sau những nỗ lực nghiêm túc thì bạn vẫn ở một vị trí tốt hơn ban đầu, bạn có thể thực sự cảm nhận lập luận của tác giả - và bạn sẽ ghi nhớ bất cứ thủ thuật hay kĩ thuật nào mà họ dùng!
Luyện tập kiểu này một cách mà các nhà toán học phát triển kĩ năng nhìn lướt qua một bài báo trong ngành của họ và vẫn nắm được toàn bộ các chi tiết trong bài báo đó. (Một kĩ năng mà tôi thấy vô cùng ấn tượng khi tôi còn là sinh viên!)
Và tất nhiên bạn có thể cố tạo ra và giải những vấn đề của riêng mình (thêm một kĩ năng quan trọng để phát triển.) Do tôi đã viết quá dài, tôi sẽ không nói thêm nữa ở đây.
Tôi hy vọng điều này sẽ có ích.
Trân trọng,
Matthew.
________________________________
Khi nào rảnh sẽ dịch thêm nếu không anh em nào rảnh vào dịch giúp, có rất nhiều topic ntn trên MSE, MO.
Người dịch: Phạm Khoa Bằng, Université de Rennes 1.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 04-03-2022 - 14:08