Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi VMO 2022

vmo vmo2022 hsgqg 2022

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 hoangvipmessi97

hoangvipmessi97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu

Đã gửi 04-03-2022 - 11:38

Ngày thi thứ nhất (04/03/2022)

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho $a$ là một số thực không âm và dãy số $(u_n)$ được xác định bởi

$$u_1=6, \ u_{n+1}= \dfrac{2n+a}{n}+ \sqrt{\dfrac{n+a}{n}u_n +4}, \ \forall n \geq 1$$.

a) Với $a=0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Với mọi $a \geq 0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

 

Bài 2 (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+ \infty) \rightarrow (0;+ \infty) $ thoả mãn

$$f \left ( \dfrac{f(x)}{x}+y \right )=1+f(y), \ \forall x,y \in (0;+ \infty)$$

 

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $E,F$ lần lượt thay đổi trên tia đối của các tia $BA,CA$ sao cho $BF=CE \ (E \neq B, \ F \neq C)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $BE,CF$ và $D$ là giao điểm của $BF$ với $CE$.

a) Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBE,DCF$. Chứng minh rằng $MN$ song song với $IJ$.

b) Gọi $K$ là trung điểm của $MN$ và $H$ là trực tâm của tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài 4 (5,0 điểm)

Với mỗi cặp số nguyên dương $(n,m)$ thoả mãn $n<m$, gọi $s(n,m)$ là số các số nguyên dương thuộc đoạn $[n;m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m \geq 2$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) $\dfrac{s(n,m)}{m-n} \geq \dfrac{s(1,m)}{m}$ với mọi $n=1,2,...,m-1$;

ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$.

 

 

Ngày thi thứ hai (05/03/2022)

Thời gian: 180 phút

Bài 5 (6,0 điểm)

Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức khác hằng, có hệ số là các số nguyên không âm, trong đó các hệ số của $P(x)$ đều không vượt quá $2021$ và $Q(x)$ có ít nhất một hệ số lớn hơn $2021$. Giả sử $P(2022)=Q(2022)$ và $P(x), Q(x)$ có chung nghiệm hữu tỷ $\dfrac{p}{q} \neq 0$ ($p,q \in \mathbb{Z}$; $p$ và $q$ nguyên tố cùng nhau). Chứng minh rằng $|p|+n|q| \leq Q(n) - P(n)$ với mọi $n=1,2,...,2021$.

 

Bài 6 (7,0 điểm)

Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu $x_i \ (1 \leq x_i \leq 6)$ là số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc thứ $i$ $(i=1,2,3,4)$.

a) Tính số các bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ có thể có.

b) Tính xác suất để có một số trong $x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4$ bằng tổng của ba số còn lại.

c) Tính xác suất để có thể chia $x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4$ thành hai nhóm có tổng bằng nhau.

 

Bài 7 (7,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định trên đường tròn $(O)$ ($BC$ không đi qua tâm $O$) và điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $ \stackrel\frown{BC}$  sao cho $AB \neq AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Gọi $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $\widehat{BAC}$, $L$ là giao điểm của $I_a D$ với $OI$ và $E$ là điểm trên $(I)$ sao cho $DE$ song song với $AI$.

a) Đường thẳng $LE$ cắt đường thẳng $AI$ tại $F$. Chứng minh rằng $AF=AI$.

b) Trên đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $I_a BC$ lấy điểm $M$ sao cho $I_a M$ song song với $AD$, $MD$ cắt lại $(J)$ tại $N$. Chứng minh rằng trung điểm $T$ của $MN$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Hình gửi kèm

  • Untitled4mar22.png
  • 275255261_5335297276504470_668301404547082952_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 05-03-2022 - 12:05






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo, vmo2022, hsgqg, 2022

4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh