Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $d,k\in \mathbb{N}^{*}$, có bao nhiêu dãy số tự nhiên $(a_{n})$ tuần hoàn chu kì $d$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Cho $d$ là một số nguyên dương, $k$ cũng là một số nguyên dương ( $d$ và $k$ đều cho trước và cố định). Hỏi có bao nhiêu dãy số tự nhiên $(a_{n})$ thỏa

  • Dãy $(a_{n})$ tuần hoàn ngay từ phần tử đầu tiên với $d$ là chu kì nhỏ nhất để dãy $(a_{n})$ tuần hoàn
  • $0\leq a_{n}\leq k$ với mọi $n=1,2,...$ và mọi phần tử của dãy đều là số tự nhiên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 15-03-2022 - 19:15


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

 

Cho $d$ là một số nguyên dương, $k$ cũng là một số nguyên dương ( $d$ và $k$ đều cho trước và cố định). Hỏi có bao nhiêu dãy số tự nhiên $(a_{n})$ thỏa

  • Dãy $(a_{n})$ tuần hoàn ngay từ phần tử đầu tiên với chu kì $d$
  • $0\leq a_{n}\leq k$ với mọi $n=1,2,...$ và mọi phần tử của dãy đều là số tự nhiên

Còn điều kiện gì giữa $a_{n}$ với nhau không? Chứ thế này thì có tất cả $(k+1)^d$ dãy thỏa đề vì với mỗi $d' \in [1;d]$, $a_{d'}$ có $k+1$ lựa chọn. Phần còn lại của dãy sẽ suy ra từ tính tuần hoàn.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Còn điều kiện gì giữa $a_{n}$ với nhau không? Chứ thế này thì có tất cả $(k+1)^d$ dãy thỏa đề vì với mỗi $d' \in [1;d]$, $a_{d'}$ có $k+1$ lựa chọn. Phần còn lại của dãy sẽ suy ra từ tính tuần hoàn.

Ý em d là số nhỏ nhất để dãy trên tuần hoàn, nếu chọn $(k+1)^d$ thì sẽ có trường hợp tất cả các phần tử của dãy đều bằng nhau như vậy là tuần hoàn với chu kì 1 chứ không còn chu kì d nữa hay nó sẽ tuần hoàn theo một chu kì khác nhỏ hơn d và là ước số của d.



#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Ý em d là số nhỏ nhất để dãy trên tuần hoàn, nếu chọn $(k+1)^d$ thì sẽ có trường hợp tất cả các phần tử của dãy đều bằng nhau như vậy là tuần hoàn với chu kì 1 chứ không còn chu kì d nữa hay nó sẽ tuần hoàn theo một chu kì khác nhỏ hơn d và là ước số của d.

Vậy em phải chỉ rõ $d$ là chu kỳ nhỏ nhất (fundamental period) chứ không thì $d, 2d, \ldots$ đều là chu kỳ cả.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Vậy em phải chỉ rõ $d$ là chu kỳ nhỏ nhất (fundamental period) chứ không thì $d, 2d, \ldots$ đều là chu kỳ cả.

Dạ cảm ơn anh đã góp ý, em sửa rồi ạ.



#6
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Gợi ý: sử dụng nghịch đảo mobius



#7
Lemonjuice

Lemonjuice

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết

Đầu tiên ta cần cố định số k lại, sau đó ta gọi S(d) là số dãy $(a_{n})$ mà ta đang cần tìm. Ta dễ thấy nếu $d_{1}$ là chu kỳ tuần hoàn nhỏ nhất của $(a_{n})$ thì $(a_{n})$ sẽ có chu kỳ tuần hoàn là $d_{2}$ với $d_{1}\mid d_{2}$. Mà ta lại có $(k+1)^{d}$ dãy $(a_{n})$ có chu kỳ tuần hoàn d.

Suy ra $S(d)=(k+1)^{d}-\sum_{t\mid d, t<d}S(t)$ $\Leftrightarrow \sum_{t\mid d}^{}S(t)=(k+1)^{d}$. Vì k đã được cố định nên sử dụng nghịch đảo mobius ta được $S(d)=\sum_{t\mid d}^{}\mu (\frac{d}{t})(k+1)^{t}$ (Xin lỗi mn kết quả khá xấu) .

 

Bài toán trên khi k=10 tương đương với việc ta cần tìm xem có bao nhiêu số hữu tỉ dương nhỏ hơn 1 có chu kỳ tuần hoàn thập phân là d (d cố định). Từ đây ta có thể chứng minh được một kết quả thú vị như sau: $S(d)=\sum_{b\mid 10^{d}-1,ord_{b}(10)=d}^{}\varphi (b)$

      Chứng minh: ta gọi các số hữu tỉ dương nhỏ hơn 1 có chu kỳ tuần hoàn thập phân bằng d là $\frac{a}{b}$ với $(a;b)=1$ và a<b. Để  $\frac{a}{b}$ có chu kỳ tuần hoàn thập phân là d thì $ord_{b}(10)=d$ (d cố định). Mà với mỗi số b như vậy có $\varphi (b)$ số a thỏa $(a;b)=1$ và a<b. Mà ta lại có số cặp số số hữu tỷ $\frac{a}{b}$ thỏa nhỏ hơn 1 có chu kỳ tuần hoàn thập phân là d là S(d) suy ra ta có đpcm. Kết quả trên với k bẳng một số nguyên dương bất kỳ là một kết quả nhỏ đã được L. E. Dickson đưa ra vào năm 1899.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 02-05-2023 - 16:09





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh