Đầu tiên ta cần cố định số k lại, sau đó ta gọi S(d) là số dãy $(a_{n})$ mà ta đang cần tìm. Ta dễ thấy nếu $d_{1}$ là chu kỳ tuần hoàn nhỏ nhất của $(a_{n})$ thì $(a_{n})$ sẽ có chu kỳ tuần hoàn là $d_{2}$ với $d_{1}\mid d_{2}$. Mà ta lại có $(k+1)^{d}$ dãy $(a_{n})$ có chu kỳ tuần hoàn d.
Suy ra $S(d)=(k+1)^{d}-\sum_{t\mid d, t<d}S(t)$ $\Leftrightarrow \sum_{t\mid d}^{}S(t)=(k+1)^{d}$. Vì k đã được cố định nên sử dụng nghịch đảo mobius ta được $S(d)=\sum_{t\mid d}^{}\mu (\frac{d}{t})(k+1)^{t}$ (Xin lỗi mn kết quả khá xấu) .
Bài toán trên khi k=10 tương đương với việc ta cần tìm xem có bao nhiêu số hữu tỉ dương nhỏ hơn 1 có chu kỳ tuần hoàn thập phân là d (d cố định). Từ đây ta có thể chứng minh được một kết quả thú vị như sau: $S(d)=\sum_{b\mid 10^{d}-1,ord_{b}(10)=d}^{}\varphi (b)$
Chứng minh: ta gọi các số hữu tỉ dương nhỏ hơn 1 có chu kỳ tuần hoàn thập phân bằng d là $\frac{a}{b}$ với $(a;b)=1$ và a<b. Để $\frac{a}{b}$ có chu kỳ tuần hoàn thập phân là d thì $ord_{b}(10)=d$ (d cố định). Mà với mỗi số b như vậy có $\varphi (b)$ số a thỏa $(a;b)=1$ và a<b. Mà ta lại có số cặp số số hữu tỷ $\frac{a}{b}$ thỏa nhỏ hơn 1 có chu kỳ tuần hoàn thập phân là d là S(d) suy ra ta có đpcm. Kết quả trên với k bẳng một số nguyên dương bất kỳ là một kết quả nhỏ đã được L. E. Dickson đưa ra vào năm 1899.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 02-05-2023 - 16:09