Chủ đề này có 1 trả lời

[jupiterhn9x]

Cho x, y là hai số hữu tỉ không nguyên phân biệt. CMR tồn tại n nguyên dương để $x^n - y^n \notin \mathbb{Z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jupiterhn9x: 14-03-2022 - 23:33

[nhungvienkimcuong]

Cho x, y là hai số hữu tỉ không nguyên phân biệt. CMR tồn tại n nguyên dương để $x^n - y^n \notin \mathbb{Z}$

Ta sẽ chứng minh: với hai số hữu tỉ $x,y$ thỏa mãn $x^n-y^n\in \mathbb{Z}$ thì $x,y$ đều là số nguyên.

Gọi $c$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $cx$ và $cy$ đều là các số nguyên, khi đó đặt $x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}$. Điều kiện $x^n-y^n\in \mathbb{Z}$ suy ra

$$c^n\mid a^n-b^n,\quad \forall n\ge 1.$$

Giả sử $c>1$, gọi $p$ là ước nguyên tố của $c$, vì $c\mid a-b$ nên $p\mid a-b$. Ta có thể giả sử $p\nmid a,b$ (để phù hợp với việc chọn $c$). Ta sẽ chứng minh mâu thuẫn khi $p$ lẻ (trường hợp $p=2$ xử lí tương tự), áp dụng bổ đề nâng lũy thừa (LTE) ta có

$$n\le v_p(c^n)\le v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n)$$

Từ dây suy ra 

$$p^n\le (x-y)n\implies x-y\ge \frac{p^n}{n}$$

Cho $n\to \infty$ dẫn tới vô lí.