Cho x, y, z không âm, có tổng bằng 1. Tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$
$P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$
#1
Đã gửi 15-03-2022 - 11:00
#2
Đã gửi 18-03-2022 - 10:57
Đặt $\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}=a$
$\frac{y^{2}+1}{z^{2}+1}=b$
$\frac{z^{2}+1}{x^{2}+1}=c$
Ta có $0\leq x,y,z\leq 1$ nên $\frac{1}{2}\leq a\leq 2$ ; $\frac{1}{2}\leq b\leq 2$ ; $\frac{1}{2}\leq c\leq 2$ và $abc =1$
Khi đó $(a-2)(b-2)(c-2)\leq 0$ ; $(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})(c-\frac{1}{2})\geq 0$
Ta có:$(a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)-8\leq 0\Leftrightarrow 4(a+b+c)\leq 2(ab+bc+bc)+7$
Lại có $(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})(c-\frac{1}{2})\geq 0\Leftrightarrow abc-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)+\frac{1}{4}(a+b+c)-\frac{1}{8}\geq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\leq a+b+c+4abc-\frac{1}{2}=a+b+c+\frac{7}{2}$
Suy ra $4(a+b+c)\leq a+b+c+7+\frac{7}{2}\Leftrightarrow a+b+c\leq \frac{21}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$
Vậy đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 18-03-2022 - 10:57
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh