Đến nội dung


Hình ảnh

$a.b.c=1$. CMR: $\sum \frac{1}{1+a+b}\leq \sum \frac{1}{2+a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bimcaucau

bimcaucau

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

Đã gửi 16-03-2022 - 16:03

Cho $a,b,c >0$, thỏa mãn $a.b.c = 1$. CMR:

$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a} \leq  \frac{1}{2+a}+ \frac{1}{2+b}+ \frac{1}{2+c}$



#2 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 07-04-2022 - 20:57

$VT=\frac{\sum [(1+a+c)(1+b+c)]}{\prod [1+a+b]}=\frac{3+4(a+b+c)+3(ab+bc+ca)+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca)+abc+(a+b)(b+c)(c+a)}.Đặt  p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc.Ta có r=1,a^{2}+b^{2}+c^{2}=p^{2}-2q,(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r=>VT=\frac{3+4p+q+p^{2}}{2+p^{2}+q+pq} .VP=\frac{\sum [(2+b)(2+c)]}{\prod [2+a]}=\frac{12+ab+bc+ca+4(a+b+c)}{8+abc+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)} =>VP=\frac{12+4p+q}{9+2q+4p}.Ta cóVT\leq VP <=>\frac{3+4p+q+p^{2}}{2+p^{2}+q+pq}\leq \frac{12+4p+q}{9+2q+4p} <=>27+24p+3q+q^{2}+5p^{2}\leq 6pq+3p^{2}q +pq^{2}.Ta có:2p^{2}q\geq 6p^{2}\geq 5p^{2}+3q;p^{2}q\geq 27;\frac{1}{3}pq^{2}\geq q^{2};\frac{2}{3}pq^{2}\geq 6p;6pq\geq 18p$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 07-04-2022 - 21:00





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh