Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN của $P=3\sqrt[3]{\dfrac{c^2-3a^2}{6}}-2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Do Linh An

Do Linh An

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Với $a,b,c\in R$, tìm GTLN của $3\sqrt[3]{\dfrac{c^2-3a^2}{6}}-2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Do Linh An: 22-03-2022 - 23:19


#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta có: $5a^2+2b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=5(a-\frac{b+c}{5})^2+\frac{1}{5}(3b-2c)^2\geqslant 0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \frac{c^2-3a^2}{2}\Rightarrow 2\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}\geqslant 2\sqrt{\frac{c^2-3a^2}{6}}$

Đặt $\sqrt[6]{\frac{3c^2-a^2}{6}}=t$ thì ta cần tìm giá trị lớn nhất của $3t^2-2t^3$

Mà $3t^2-2t^3-1=-(t-1)^2(2t+1)\leqslant 0\Rightarrow 3t^2-2t^3\leqslant 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 22-03-2022 - 22:55

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
Do Linh An

Do Linh An

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Ta có: $5a^2+2b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=5(a-\frac{b+c}{5})^2+\frac{1}{5}(3b-2c)^2$


ờm bạn dùng cách gì để tách như này nhỉ ? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Do Linh An: 22-03-2022 - 23:04


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

ờm bạn dùng cách gì để tách như này nhỉ ? 

Hmm mình nghĩ là có thể đoán được đánh giá: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \frac{c^2-3a^2}{2}$ để xuất hiện đại lượng $\frac{c^2-3a^2}{6}$

Còn đánh giá kia thì chứng minh rất cơ bản, chỉ cần tách ghép khéo léo các đại lượng $a(b+c), a^2, (b+c)^2, ...$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#5
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Ta có: $5a^2+2b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=5(a-\frac{b+c}{5})^2+\frac{1}{5}(3b-2c)^2\geqslant 0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \frac{c^2-3a^2}{2}\Rightarrow 2\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}\geqslant 2\sqrt{\frac{c^2-3a^2}{6}}$

Đặt $\sqrt[6]{\frac{3c^2-a^2}{6}}=t$ thì ta cần tìm giá trị lớn nhất của $3t^2-2t^3$

Mà $3t^2-2t^3-1=-(t-1)^2(2t+1)\leqslant 0\Rightarrow 3t^2-2t^3\leqslant 1$

Khi đi thi, lời giải này chắc chắn bị trừ điểm. Nó chỉ đúng khi $c^{2}\geq 3a^{2}$.

Nên đánh giá cái căn đầu tiên.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh