Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $HG$ vuông góc $AK$

tam giác nội tiếp đường tròn hình học 9 vuông góc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Module

Module

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$, đường thẳng $EF$ cắt $(O)$ tại hai điểm $G$,$J$ sao cho $E$ nằm giữa $F$ và $G$. Kẻ đường kính $AN$, $NG$ giao $BC$ tại $K$, Chứng minh $HG$ vuông góc $AK$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Module: 24-03-2022 - 21:24


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

2023-06-03_10h40_53.png

Ta chứng minh một tính chất cơ bản:

Mệnh đề
$OA \perp GJ$

Chứng minh

Thật vậy \[\angle OAF = {90^o} - \frac{1}{2}\angle AOB = {90^o} - \angle ACB = {90^o} - \angle AFE\]

(Vì $BFEC$ là tứ giác nội tiếp). Do đó $OA \perp EF$, tức $OA \perp GJ$.

Từ Theorem, ta có $A$ là điểm chính giữa cung $GJ$. Do đó

\[\angle ACG = \frac{1}{2}\text{sd}( AG) = \frac{1}{2}\text{sd} ({JA}) = \angle AGJ\]

Vì thế, $\Delta AEG \sim \Delta AGC (g.g) \Rightarrow AG^2=AE.AC \quad (1)$

Vẽ $AH$ cắt $BC$ tại $D$. Dễ thấy $DHEC$ là tứ giác nội tiếp, nên $AE.AC = AH.AD \quad (2)$

Kết hợp (1) và (2), ta có $AG^2=AH.AD \Rightarrow \Delta AHG \sim \Delta AGH (c.g.c)$. Nên $\angle AHG = \angle AGD \quad (3)$.

Lại có tứ giác $ADKG$ nội tiếp (vì có hai góc vuông $ADK$ và $AGK$) nên $\angle AGD = \angle AKD \quad (4)$.

Từ (3) và (4), ta có $\angle AHG = \angle AKD = 90^o - \angle HAK \Rightarrow HG \perp AK$ (đpcm).


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tam giác nội tiếp đường tròn, hình học 9, vuông góc

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh