Đến nội dung

Hình ảnh

Có một CLB chứa ít nhất 64 học sinh nam và 64 học sinh nữ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
jupiterhn9x

jupiterhn9x

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 71 Bài viết

Một trường học có 2020 học sinh nam và 2020 học sinh nữ. Trong trường, người ta có tổ chức một số câu lạc bộ, biết rằng mỗi học sinh tham gia không quá 16 câu lạc bộ và mỗi cặp hai học sinh nam và nữ bất kì thì cùng tham gia vào ít nhất 1 câu lạc bộ. Chứng minh rằng có một câu lạc bộ trong trường mà trong đó có ít nhất 64 học sinh nam và 64 học sinh nữ



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Một trường học có 2020 học sinh nam và 2020 học sinh nữ. Trong trường, người ta có tổ chức một số câu lạc bộ, biết rằng mỗi học sinh tham gia không quá 16 câu lạc bộ và mỗi cặp hai học sinh nam và nữ bất kì thì cùng tham gia vào ít nhất 1 câu lạc bộ. Chứng minh rằng có một câu lạc bộ trong trường mà trong đó có ít nhất 64 học sinh nam và 64 học sinh nữ

Giả sử mỗi CLB có nhiều nhất 63 học sinh nam hoặc 63 học sinh nữ. Ta sẽ đếm $T$ là số bộ $(\{g,b\},c)$ hay số cặp học sinh khác giới cùng tham gia một CLB.

$\bullet$ Với mỗi cặp học sinh khác giới $\{g,b\}$, khi đó tồn tại ít nhất một CLB $c$. Do vậy

$$T\ge 2020^2\qquad (1)$$

$\bullet$ Ta chia các CLB ban đầu thành tập hợp $\mathcal{C}_b$ là tập hợp các CLB có nhiều nhất 63 học sinh nam và $\mathcal{C}_g$ là tập hợp các CLB có nhiều nhất 63 học sinh nữ.

Có $2020\cdot 16\cdot 63$ bộ $(\{g,b\},c)$ trong đó CLB $c\in \mathcal{C}_b$. Vì có $2020$ cách chọn học sinh nữ, mỗi học sinh nữ như vậy tham gia nhiều nhất $16$ CLB, mỗi CLB như thế có nhiều nhất $63$ học sinh nam.

Hoàn toàn tương tự thì có $2020\cdot 16\cdot 63$ bộ $(\{g,b\},c)$ với $c\in \mathcal{C}_g$. Do vậy

$$T\le 2020\cdot 16\cdot 63+2020\cdot 16\cdot 63\qquad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra

$$2020\cdot 16\cdot 63+2020\cdot 16\cdot 63\ge 2020^2\ (\text{vô lí})$$


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh