Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $(PBC)$ tiếp xúc $(K)$.

- - - - - tiepxuc mix

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DaiphongLT

DaiphongLT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, gọi $(K)$ là đường tròn tiếp xúc với $AC$, $AB$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $D$. Kẻ đường kính $AS$ của $(O)$, tiếp tuyến tại $S$ của $(O)$ cắt đường thẳng qua $O$ $//$ $SD$ tại $T$. $P$ là điểm đối xứng với $D$ qua $TK$. Chứng minh $(PBC)$ tiếp xúc $(K)$.
P/s: một bài toán mình thấy khá thú vị, mời các bạn thử


ズ刀Oア


#2
bibi8

bibi8

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn (AB < AC). Các đường cao BP, CQ của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho góc MBA = góc MCA. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng đường thẳng HM đi qua trung điểm của EF.

Hướng dẫn giúp mình đề thi HSG toán 8 này với ạ.



#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

hinhve.png

$(K)$ tiếp xúc với $AB,AC$ lần lượt tại $X,Y$.

$KS$ cắt lại $(O)$ tại $M$.

Khi đó $\widehat{AMK}=90^\circ$ nên $M\in(AK)$

$\Rightarrow \Delta MXB\sim\Delta MYC(g.g)$

$\Rightarrow \frac{MB}{MC}=\frac{BX}{CY}$.

Theo tính chất quen thuộc, ta có $\frac{BD}{CD}=\frac{BX}{CY}$.

Từ đó $\frac{MB}{MC}=\frac{DB}{DC}$ hay $(MD,BC)=-1$.

Suy ra tiếp tuyến tại $D,M$ của $(O)$ và $BC$ đồng quy tại $H$.

Kẻ đường kính $DD'$ của $(O)$ thì $OT$ là trung trực của $D'S$

$\Rightarrow TD'$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Áp dụng định lý Pascal cho tứ giác $MDSD'$ ta có $H,K,T$ thẳng hàng.

Do đó $HK\perp PD$ nên $HP$ là tiếp tuyến của $(K)$.

Dẫn đến $HP^2=HD^2=\overline{HB}.\overline{HC}$ hay $HP$ là tiếp tuyến của $(PBC)$.

Vậy $(PBC)$ tiếp xúc với $(K)$.

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh