Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, gọi $(K)$ là đường tròn tiếp xúc với $AC$, $AB$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $D$. Kẻ đường kính $AS$ của $(O)$, tiếp tuyến tại $S$ của $(O)$ cắt đường thẳng qua $O$ $//$ $SD$ tại $T$. $P$ là điểm đối xứng với $D$ qua $TK$. Chứng minh $(PBC)$ tiếp xúc $(K)$.
P/s: một bài toán mình thấy khá thú vị, mời các bạn thử
#1
Đã gửi 02-04-2022 - 16:59
ズ刀Oア
#2
Đã gửi 03-04-2022 - 17:37
Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn (AB < AC). Các đường cao BP, CQ của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho góc MBA = góc MCA. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng đường thẳng HM đi qua trung điểm của EF.
Hướng dẫn giúp mình đề thi HSG toán 8 này với ạ.
#3
Đã gửi 07-06-2022 - 16:34
$(K)$ tiếp xúc với $AB,AC$ lần lượt tại $X,Y$.
$KS$ cắt lại $(O)$ tại $M$.
Khi đó $\widehat{AMK}=90^\circ$ nên $M\in(AK)$
$\Rightarrow \Delta MXB\sim\Delta MYC(g.g)$
$\Rightarrow \frac{MB}{MC}=\frac{BX}{CY}$.
Theo tính chất quen thuộc, ta có $\frac{BD}{CD}=\frac{BX}{CY}$.
Từ đó $\frac{MB}{MC}=\frac{DB}{DC}$ hay $(MD,BC)=-1$.
Suy ra tiếp tuyến tại $D,M$ của $(O)$ và $BC$ đồng quy tại $H$.
Kẻ đường kính $DD'$ của $(O)$ thì $OT$ là trung trực của $D'S$
$\Rightarrow TD'$ là tiếp tuyến của $(O)$.
Áp dụng định lý Pascal cho tứ giác $MDSD'$ ta có $H,K,T$ thẳng hàng.
Do đó $HK\perp PD$ nên $HP$ là tiếp tuyến của $(K)$.
Dẫn đến $HP^2=HD^2=\overline{HB}.\overline{HC}$ hay $HP$ là tiếp tuyến của $(PBC)$.
Vậy $(PBC)$ tiếp xúc với $(K)$.
- DaiphongLT và Sangnguyen3 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh