Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác ABC nhọn, hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác(M,N thuộc AB,AC;P,Q thuộc BC)

diemcodinh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) .Dựng hình chữ nhật MNPQ sao cho M,N theo thứ tự thuộc cạnh 
AB,AC và P,Q thuộc cạnh BC.Đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt NP tại K.Đường 
thẳng qua A vuông góc với AC cắt MQ tại L,CL cắt NP tại E,BK cắt MQ tại F. 
a)Chứng minh rằng:góc BAF=CAE. 
b)Gọi X là giao điểm của LP và QK,Y là giao điểm của BK và CL.Chứng minh XY luôn đi qua 
một điểm cố định khi hình chữ nhật MNPQ di động.
Hình gửi kèm
 

Hình gửi kèm

  • 277408906_2804058256407625_7789028056541575602_n.png


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

hinh.png

a) Ta có $\frac{LM}{AM}=\frac{\sin LAM}{\sin ALM}=\frac{\cos BAC}{\sin ACB};\frac{AN}{KN}=\frac{\sin ABC}{\cos BAC}$

$\Rightarrow \frac{LM}{AM}.\frac{AN}{KN}=\frac{\sin ABC}{\sin ACB}=\frac{AC}{AB}=\frac{AN}{AM}$

$\Rightarrow LM=KN$.

Do đó tứ giác $KLMN$ là hình chữ nhật.

Gọi $S,T$ lần lượt là hình chiếu của $F,E$ trên $AB,AC$.

Kẻ đường cao $AD$ của tam giác $ABC$.

Khi đó theo định lý Thales: $\frac{ET}{AT}=\frac{ET}{TC}.\frac{TC}{AT}=\frac{AL}{AC}.\frac{EC}{EL}=\frac{AL}{AC}.\frac{CP}{KL};\frac{FS}{AS}=\frac{AK}{AB}.\frac{BQ}{KL}$.

Mặt khác $\frac{AL}{AK}=\frac{\sin AKL}{\sin ALK}=\frac{\cos ABC}{\cos ACB}=\frac{BD}{AB}.\frac{AC}{CD}=\frac{AC}{AB}.\frac{BD}{BQ}.\frac{CP}{CD}.\frac{BQ}{CP}=\frac{AC}{AB}.\frac{BQ}{CP}$.

Dẫn đến $\frac{AK}{AB}.\frac{BQ}{KL}=\frac{AL}{AC}.\frac{CP}{KL}$ hay $\frac{ET}{AT}=\frac{FS}{AS}$

$\Rightarrow \Delta AET\sim\Delta AFS(g.g)\Rightarrow \angle BAF=\angle CAE$.

b) Qua $X$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $BK,CL$ theo thứ tự tại $R,V$.

Khi đó $\frac{XR}{XV}=\frac{BQ:2}{CP:2}=\frac{BQ}{CP}=\frac{BD}{CD}$.

Suy ra $Y,X,D$ thẳng hàng.

Vậy $XY$ đi qua $D$ cố định.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh