Cho tam giác ABC nhọn, hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác(M,N thuộc AB,AC;P,Q thuộc BC)
#1
Đã gửi 08-04-2022 - 23:04
#2
Đã gửi 09-04-2022 - 08:56
a) Ta có $\frac{LM}{AM}=\frac{\sin LAM}{\sin ALM}=\frac{\cos BAC}{\sin ACB};\frac{AN}{KN}=\frac{\sin ABC}{\cos BAC}$
$\Rightarrow \frac{LM}{AM}.\frac{AN}{KN}=\frac{\sin ABC}{\sin ACB}=\frac{AC}{AB}=\frac{AN}{AM}$
$\Rightarrow LM=KN$.
Do đó tứ giác $KLMN$ là hình chữ nhật.
Gọi $S,T$ lần lượt là hình chiếu của $F,E$ trên $AB,AC$.
Kẻ đường cao $AD$ của tam giác $ABC$.
Khi đó theo định lý Thales: $\frac{ET}{AT}=\frac{ET}{TC}.\frac{TC}{AT}=\frac{AL}{AC}.\frac{EC}{EL}=\frac{AL}{AC}.\frac{CP}{KL};\frac{FS}{AS}=\frac{AK}{AB}.\frac{BQ}{KL}$.
Mặt khác $\frac{AL}{AK}=\frac{\sin AKL}{\sin ALK}=\frac{\cos ABC}{\cos ACB}=\frac{BD}{AB}.\frac{AC}{CD}=\frac{AC}{AB}.\frac{BD}{BQ}.\frac{CP}{CD}.\frac{BQ}{CP}=\frac{AC}{AB}.\frac{BQ}{CP}$.
Dẫn đến $\frac{AK}{AB}.\frac{BQ}{KL}=\frac{AL}{AC}.\frac{CP}{KL}$ hay $\frac{ET}{AT}=\frac{FS}{AS}$
$\Rightarrow \Delta AET\sim\Delta AFS(g.g)\Rightarrow \angle BAF=\angle CAE$.
b) Qua $X$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $BK,CL$ theo thứ tự tại $R,V$.
Khi đó $\frac{XR}{XV}=\frac{BQ:2}{CP:2}=\frac{BQ}{CP}=\frac{BD}{CD}$.
Suy ra $Y,X,D$ thẳng hàng.
Vậy $XY$ đi qua $D$ cố định.
- DOTOANNANG, KietLW9, Lemonjuice và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh