Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^3-a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^3-b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^3-c^2}{(c+a)^2}\geq 0$

* * * * * 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c\geq 3$. Chứng minh:

$\frac{a^3-a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^3-b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^3-c^2}{(c+a)^2}\geq 0$



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\frac{a^3+2ab+b^2}{a^2+2ab+b^2}+\frac{b^3+2bc+c^2}{b^2+2bc+c^2}+\frac{c^3+2ca+a^2}{c^2+2ca+a^2}\geqslant 3$$

Dùng Cauchy-Schwarz, ta chỉ ra được:

$$\frac{a^3+2ab+b^2}{a^2+2ab+b^2}\geqslant \frac{a^2+2ab+b^2}{a+2ab+b^2}$$

Tức ta cần chứng minh: $\frac{(a+b)^2}{a+2ab+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b+2bc+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c+2ca+a^2}\geqslant 3$

Thật vậy, sử dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức:

$\frac{(a+b)^2}{a+2ab+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b+2bc+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c+2ca+a^2}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{(a+b+c)+(a+b+c)^2}$

Cần chứng minh: $$4(a+b+c)^2\geqslant 3(a+b+c)+3(a+b+c)^2\Leftrightarrow a+b+c\geqslant 3(\text{Đúng})$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh