Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c\geq 3$. Chứng minh:
$\frac{a^3-a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^3-b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^3-c^2}{(c+a)^2}\geq 0$
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c\geq 3$. Chứng minh:
$\frac{a^3-a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^3-b^2}{(b+c)^2}+\frac{c^3-c^2}{(c+a)^2}\geq 0$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\frac{a^3+2ab+b^2}{a^2+2ab+b^2}+\frac{b^3+2bc+c^2}{b^2+2bc+c^2}+\frac{c^3+2ca+a^2}{c^2+2ca+a^2}\geqslant 3$$
Dùng Cauchy-Schwarz, ta chỉ ra được:
$$\frac{a^3+2ab+b^2}{a^2+2ab+b^2}\geqslant \frac{a^2+2ab+b^2}{a+2ab+b^2}$$
Tức ta cần chứng minh: $\frac{(a+b)^2}{a+2ab+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b+2bc+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c+2ca+a^2}\geqslant 3$
Thật vậy, sử dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức:
$\frac{(a+b)^2}{a+2ab+b^2}+\frac{(b+c)^2}{b+2bc+c^2}+\frac{(c+a)^2}{c+2ca+a^2}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{(a+b+c)+(a+b+c)^2}$
Cần chứng minh: $$4(a+b+c)^2\geqslant 3(a+b+c)+3(a+b+c)^2\Leftrightarrow a+b+c\geqslant 3(\text{Đúng})$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh