Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:
$1/$ $ f(2) =2$
$2/$ $ f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi số nguyên dương $m;n$
$3/$ $ f(m) < f(n)$ với mọi $m <n$
Một nhận xét quan trọng trong bài này chính là: nếu $f(k)=k$ thì $f(i)=i$ với mọi $i<k$.
Do vậy ta chỉ cần chứng minh tồn tại một dãy số nguyên $(a_n)$ có $\lim a_n=+\infty$ thỏa mãn $f(a_n)=a_n$ với mọi $n$. Có thể xây dựng dãy như này khá thoải mái, sau đây là một ví dụ.
$$(a_n):\left\{\begin{matrix}a_1=3,\\ a_{n+1}=a_n^2-a_n.\end{matrix}\right.$$
Chứng minh $f(3)=3$ thì xin nhường bạn đọc. Phần còn lại thì quy nạp đơn giản rồi, nếu $f(a_n)=a_n$ thì $f(a_n-1)=a_n-1$ (nhận xét). Dẫn đến
$$f(a_{n+1})=f(a_n(a_n-1))=f(a_n)f(a_n-1)=a_n(a_n-1)=a_{n+1}.$$
Ngoài ra dãy $(a_n)$ tăng nên $f(n)=n$ với mọi $n\in \mathbb{N}^*$.