Đến nội dung

Hình ảnh

Hàm trên tập số nguyên dương $ f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi số nguyên dương $m;n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^{*}  \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(2) =2$

 

$2/$ $  f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi số nguyên dương $m;n$

 

$3/$ $ f(m) < f(n)$ với mọi $m <n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 11-04-2022 - 13:51

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^{*}  \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:

 

$1/$ $ f(2) =2$

 

$2/$ $  f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi số nguyên dương $m;n$

 

$3/$ $ f(m) < f(n)$ với mọi $m <n$

Một nhận xét quan trọng trong bài này chính là: nếu $f(k)=k$ thì $f(i)=i$ với mọi $i<k$.

Do vậy ta chỉ cần chứng minh tồn tại một dãy số nguyên $(a_n)$ có $\lim a_n=+\infty$ thỏa mãn $f(a_n)=a_n$ với mọi $n$. Có thể xây dựng dãy như này khá thoải mái, sau đây là một ví dụ.

$$(a_n):\left\{\begin{matrix}a_1=3,\\ a_{n+1}=a_n^2-a_n.\end{matrix}\right.$$

Chứng minh $f(3)=3$ thì xin nhường bạn đọc. Phần còn lại thì quy nạp đơn giản rồi, nếu $f(a_n)=a_n$ thì $f(a_n-1)=a_n-1$ (nhận xét). Dẫn đến

$$f(a_{n+1})=f(a_n(a_n-1))=f(a_n)f(a_n-1)=a_n(a_n-1)=a_{n+1}.$$

Ngoài ra dãy $(a_n)$ tăng nên $f(n)=n$ với mọi $n\in \mathbb{N}^*$.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Một nhận xét quan trọng trong bài này chính là: nếu $f(k)=k$ thì $f(i)=i$ với mọi $i<k$.

Do vậy ta chỉ cần chứng minh tồn tại một dãy số nguyên $(a_n)$ có $\lim a_n=+\infty$ thỏa mãn $f(a_n)=a_n$ với mọi $n$. Có thể xây dựng dãy như này khá thoải mái, sau đây là một ví dụ.

$$(a_n):\left\{\begin{matrix}a_1=3,\\ a_{n+1}=a_n^2-a_n.\end{matrix}\right.$$

Chứng minh $f(3)=3$ thì xin nhường bạn đọc. Phần còn lại thì quy nạp đơn giản rồi, nếu $f(a_n)=a_n$ thì $f(a_n-1)=a_n-1$ (nhận xét). Dẫn đến

$$f(a_{n+1})=f(a_n(a_n-1))=f(a_n)f(a_n-1)=a_n(a_n-1)=a_{n+1}.$$

Ngoài ra dãy $(a_n)$ tăng nên $f(n)=n$ với mọi $n\in \mathbb{N}^*$.

Em nghĩ chỉ cần xây dựng dãy $(a_n)_n$: $a_1=2;a_{n+1}=a_n^2$ là được thì phải.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh