Biết rằng với mọi $i\in \{1,2,\dots,p-1\}$ thì $a^i\equiv a^{i+p-1}\pmod{p}$, do đó
$$Q(a^i)\equiv Q(a^{i+p-1})\pmod{p}\implies \prod_{i=1}^{2p-2}Q(a^i)\equiv \left(\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i) \right )^2\pmod{p}.$$
Kết hợp với $(1)$ suy ra
\begin{equation}\left(\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i) \right )^2\equiv -1\pmod{p}.\end{equation}
- Nếu $\gcd(a,p)=1$, khi đó tập hợp $\{Q(a),Q(a^2),\dots,Q(a^{p-1})\}$ lập thành hệ thặng dư thu gọn theo modulo $p$. Dẫn tới
$$\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i)\equiv (p-1)!\equiv -1\pmod{p}.$$
Kết hợp với $(2)$ có được $p=2$.
- Nếu $p\mid a$, gọi $b$ là hệ số tự do của đa thức $Q$. Khi đó $\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i)\equiv b^{p-1}\pmod{p}$, từ $(2)$ suy ra $\gcd(b,p)=1$. Do vậy
$$\prod_{i=1}^{p-1}Q(a^i)\equiv b^{p-1}\equiv 1\pmod{p}.$$
Kết hợp với $(2)$ có được $p=2$.