Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tgABC đường cao AD. E,F là hc của D lên AC,AB. EF cắt BC tại S. BE cắt CF tại P. CM AS vgóc DP

- - - - - đường cao vuông góc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Cho tam giác ABC. Đường cao AD(D thuộc BC). E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AC,AB. EF cắt BC tại S. BE cắt CF tại P. Chứng minh AS vuông góc DP



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ta có $\overline{AF}.\overline{AB}=AD^2=\overline{AE}.\overline{AC}$ nên $B,C,E,F$ đồng viên. Gọi đường tròn đi qua bốn điểm này là $(O)$.

Theo định lý Brocard ta có $OP$ vuông góc với $AS$ tại điểm Miquel $L$ của tứ giác toàn phần $BCEF.AS$.

Lại có $L\in (SFB)$ nên $\overline{AL}.\overline{AS}=\overline{AF}.\overline{AB}=AD^2$.

Dẫn đến $DL\perp AS$ nên $O,D,P$ thẳng hàng.

Vậy $AS\perp DP$.



#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Bằng cách chứng minh tương tự thì với mọi điểm D nằm trên đường cao hạ từ A của tam giác ABC bài toán vẫn đúng.

Hình gửi kèm

  • vv.png






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đường cao, vuông góc

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh