Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1+\frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$

batdangthuc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh 

$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1+\frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$



#2
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

$\sum \frac{a}{b+2c}-1 \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ca)}-1=\frac{\sum a^{2}-\sum ab}{3\sum ab}=\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}$

Can chung minh :$\frac{(b-c)^{2}+(a-c)(a-b)}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$

WLOG, gia su $a=min\left \{ a;b;c \right \} \Rightarrow (a-c)(a-b)\geq 0$

Quy ve chung minh $\frac{(b-c)^{2}}{3\sum ab}\geq \frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}} \Leftrightarrow (b-c)^{2}\left ( b^{2}+2bc+c^{2}-ab-bc-ca \right )\geq 0$ 
 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: batdangthuc

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh