Cho a,b,c không âm, tổng bằng 1, không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR
a) $\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}\leq \frac{5}{4}$
b) $\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{c}{\sqrt{b+c}}\leq \sqrt{2}$
$\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{c}{\sqrt{b+c}}\leq \sqrt{2}$
Bắt đầu bởi
jupiterhn9x
, 17-04-2022 - 00:27
#1
Đã gửi 17-04-2022 - 00:27
jupiterhn9x
-
- Banned
-
- 71 Bài viết
Hạ sĩ
#2
Đã gửi 17-04-2022 - 07:37
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
a) Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta được: $\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}\leqslant \frac{a}{a+b}+\sqrt{b}=\frac{a}{a+b}+2\sqrt{\frac{b}{a+b}.\frac{a+b}{4}}\leqslant \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a+b}{4}\leqslant 1+\frac{a+b+c}{4}=\frac{5}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{3}{4},b=\frac{1}{4},c=0$
b) Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta được: $\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{c}{\sqrt{b+c}}\leqslant \sqrt{a}+\sqrt{{c}}\leqslant \sqrt{2(a+c)}\leqslant \sqrt{2(a+b+c)}=\sqrt{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=c=1,b=0$
- Hoang72 và Sangnguyen3 thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
