Tìm tất cả các hàm số $ f: \mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:
$1/$ $f(2) =2$
$2/$ $f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi cặp số nguyên dương $(m;n)$ nguyên tố cùng nhau
$3/$ $ f(m) < f(n)$ với mọi $m <n$
Tìm tất cả các hàm số $ f: \mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:
$1/$ $f(2) =2$
$2/$ $f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi cặp số nguyên dương $(m;n)$ nguyên tố cùng nhau
$3/$ $ f(m) < f(n)$ với mọi $m <n$
Gợi ý: Bài này mấu chốt là tính được $f(3)$, giá trị của $f(3)$ có thể tính được bằng cách sử dụng bất đẳng thức $ 2 < f(3) <4$
Để thiết lập bất đẳng thức nêu trên, Chú ý các giá trị: $ f(15) ; f(10); f(18)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 31-05-2022 - 22:10
Phương pháp khá lạ ạ, lúc đầu em tưởng có vô số nghiệm.
Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh $f(m)\geq f(n)+m-n,\forall m,n\in\mathbb N^*;m>n$.
Ta có $f(15)=f(3).f(5), f(10)=f(2).f(5)=2f(5); f(18)=2f(9)$.
Nhận thấy $f(3).f(5)=f(15)\leq f(18)-3=2f(9)-3\leq 2(f(10)-1)-3=4f(5)-5$.
Do đó $f(3)<4$. Mà $f(3)\geq 3$ nên $f(3)=3$.
Nhận xét: Nếu $n\in\mathbb N^*$ sao cho $f(n)=n$ thì $f(n_0)=n_0,\forall 1\leq n_0\leq n$.
Xây dựng dãy $(a_n)$: $\begin{cases} a_1=2 \\a_{n+1}=a_n(a_n-1)\end{cases}$.
Do $f(a_{n+1})=f(a_n).f(a_n-1)$ và $f(a_1)=a_1(=2)$ nên kết hợp với nhận xét, bằng quy nạp dễ dàng chứng minh với mọi $n$ cố định, $f(x)=x,\forall x\in\mathbb N^*,x\leq a_n$.
Mà $\lim_{n\to\infty} a_n=+\infty$ nên $f(x)=x,\forall x\in\mathbb N^*$.
Thử lại ta thấy thoả mãn.
Vậy $f(x)=x,\forall x\in\mathbb N^*$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 01-06-2022 - 16:19
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh