Đến nội dung

Hình ảnh

Hàm trên tập số nguyên dương $ f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi số nguyên dương $m;n$ nguyên tố cùng nhau

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $ f: \mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn đồng thời $3$ điều kiện:

 

$1/$ $f(2) =2$

 

$2/$ $f(mn) = f(m)f(n)$ với mọi cặp số nguyên dương $(m;n)$ nguyên tố cùng nhau

 

$3/$ $ f(m) < f(n)$ với mọi  $m <n$


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Gợi ý: Bài này mấu chốt là tính được $f(3)$,  giá trị của $f(3)$ có thể tính được bằng cách sử dụng bất đẳng thức $ 2 < f(3) <4$

Để thiết lập bất đẳng thức nêu trên, Chú ý các giá trị: $ f(15) ; f(10); f(18)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 31-05-2022 - 22:10

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Phương pháp khá lạ ạ, lúc đầu em tưởng có vô số nghiệm.

Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh $f(m)\geq f(n)+m-n,\forall m,n\in\mathbb N^*;m>n$.

Ta có $f(15)=f(3).f(5), f(10)=f(2).f(5)=2f(5); f(18)=2f(9)$.

Nhận thấy $f(3).f(5)=f(15)\leq f(18)-3=2f(9)-3\leq 2(f(10)-1)-3=4f(5)-5$.

Do đó $f(3)<4$. Mà $f(3)\geq 3$ nên $f(3)=3$.

Nhận xét: Nếu $n\in\mathbb N^*$ sao cho $f(n)=n$ thì $f(n_0)=n_0,\forall 1\leq n_0\leq n$.

Xây dựng dãy $(a_n)$: $\begin{cases} a_1=2 \\a_{n+1}=a_n(a_n-1)\end{cases}$.

Do $f(a_{n+1})=f(a_n).f(a_n-1)$ và $f(a_1)=a_1(=2)$ nên kết hợp với nhận xét, bằng quy nạp dễ dàng chứng minh với mọi $n$ cố định, $f(x)=x,\forall x\in\mathbb N^*,x\leq a_n$.

Mà $\lim_{n\to\infty} a_n=+\infty$ nên $f(x)=x,\forall x\in\mathbb N^*$.

Thử lại ta thấy thoả mãn.

Vậy $f(x)=x,\forall x\in\mathbb N^*$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 01-06-2022 - 16:19





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh