Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi học sinh giỏi lớp 10, 11 tỉnh An Giang năm học 2021-2022

hsg an giang thpt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
vttPapyrus

vttPapyrus

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết

Câu 1. Cho ba phương trình

$\begin{align*} & ax^2-x-1=0;\tag{1}\\ & bx^2-2x-1=0;\tag{2}\\ & abx^2+\left(a^3-b\right)x+b-a=0.\tag{3} \end{align*}$

Tìm tất cả các giá trị của các tham số $a$, $b$ sao cho hai phương trình bất kỳ đều có nghiệm chung nhưng cả ba phương trình không có nghiệm chung.
 
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây với mọi $x\in\mathbb{R}$
\[A=(\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x+1)(\sin x+\cos x+2)(\sin x+\cos x+3).\]
 
Câu 3. Cho ba số dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+6\geq 2\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{1-a}{a}}+\sqrt{\dfrac{1-b}{b}}+\sqrt{\dfrac{1-c}{c}}\right).\]
 
Câu 4. Cho $18$ điểm nằm trên đường tròn và cách đều nhau.
  1. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các đỉnh là $18$  điểm đã cho?
  2. Có bao nhiêu tam giác cân không phải là tam giác đều tạo bởi các đỉnh đó?
  3. Có bao nhiêu tam giác trong số tam giác tạo thành nhưng có cặp góc chênh lệch nhau $30^\circ$?
Câu 5. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $1$, $ABCD$ là hình vuông có tâm $O$, điểm $M$ nằm trên cạnh $SA$ sao cho $MS=k\cdot MA$ $(k>0)$. Mặt phẳng qua $CM$ song song $BD$ cắt $SB$, $SO$, $SD$ lần lượt tại $P$, $I$, $Q$.
  1. Chứng minh rằng $\dfrac{IO}{IS}=\dfrac{1}{2k}$.
  2. Tính diện tích thiết diện $CPMQ$ theo $k$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vttPapyrus: 23-04-2022 - 20:54


#2
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Mình làm câu 2 trước

Câu 2:Đặt $\large{sinx + cosx = t(t \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}])}$

Khi đó đẳng thức đề bài trở thành:

$\large{A = t(t+1)(t+2)(t+3)}$

 

$\large{=(t^2+3t+2)(t^2+3t)}$

 

$\large{=(t^2+3t)^2 + 2(t^2+3t) + 1 - 1}$

 

$\large{=(t^2+3t+1)^2  - 1}$

 

Dễ thấy rằng $\large{A = (t^2 + 3t + 1)^2 - 1 \ge -1}$ $\large{\forall t \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]}$

$\large{\rightarrow A_{min}=-1}$

 

Xét $\large{f(t) = t^2 + 3t + 1}$ có $ \large{t \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]}$ 

Ta có bảng biến thiên(Hình vẽ)

Untitled.png (716×260)

 

 

Từ hình vẽ ta suy ra $\large{f(t)_{max} = 3 + 2\sqrt{2}}$

Khi đó $\large{A_{max} = (3+2\sqrt{2})^2 -1 = 16+12\sqrt{2}}$

Vậy ..


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 13-12-2022 - 22:34






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hsg, an giang, thpt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh