Đến nội dung

Hình ảnh

$f(xf(y)+y^3)=yf(x)+f(y)^{3}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$f(xf(y)+y^3)=yf(x)+f(y)^{3}$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

\begin{equation} f(xf(y)+y^3)=yf(x)+f(y)^3,\forall x,y\in\mathbb R\end{equation}

Nhận thấy nếu $f$ là hàm hằng thì thay vào ta có: $f(x)=0,\forall x\in\mathbb R$

Xét trường hợp $f$ không là hàm hằng.

Thay $y=0$ vào (1) ta có $$f(f(0)x)=f(0)^3,\forall x\in\mathbb R$$

Do $f$ không là hàm hằng nên $f(0)=0$.

Đồng thời, giả sử tồn tại $a\neq 0$ sao cho $f(a)=0$ thì thay $y=a$ vào (1) ta có: $$af(x)=f(a^3),\forall x\in\mathbb R$$ tức $f$ là hàm hằng, vô lí.

Do đó $f(x)\neq 0,\forall x\in\mathbb R\setminus \{0\}$.

Thay $x=0$ vào (1) ta có \begin{equation}f(y^3)=f(y)^3,\forall y\in\mathbb R\end{equation}

Thay $x=y=-1$ vào (1) ta có $f(-f(-1)-1)=-f(-1)+f(-1)^3$.

Mà $f(-1)^3=f((-1)^3)=f(-1)$ nên $f(-f(-1)-1)=0\Leftrightarrow f(-1)=-1$.

Thay $y=-1$ vào (1) ta có \begin{equation}f(-x-1)=-f(x)-1,\forall x\in\mathbb R\end{equation}

Lại có $f(1)=f(1)^3$ nên $f(1)=-1$ hoặc $f(1)=1$.

$\bullet$ $f(1)=-1$: Thay $y=1$ vào (1) ta có $f(-x-1)=f(x)-1,\forall x\in\mathbb R$.

Kết hợp với (3) suy ra $f$ là hàm chẵn.

Hay $f(x+1)+f(x)=-1,\forall x\in\mathbb R$.

Tuy nhiên thay $x=-2$ vào ta được $f(-2)+f(-1)=-1\Rightarrow f(-2)=0$, vô lí.

$\bullet$ $f(1)=1$: Thay $y=1$ vào (1) ta có $$f(x+1)=f(x)+1,\forall x\in\mathbb R$$

Do đó $f(2)=2$. Thay $y=2$ vào (1) ta có $f(2x+8)=2f(x)+8\Rightarrow f(2x)=2f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Thay $y$ bởi $2y$ trong (1) và kết hợp với (2), ta có $$f(xf(2y)+8y^3)=2yf(x)+8f(y^3)$$

$\Rightarrow f(2xf(y)+8y^3)=2yf(x)+8f(y^3)$

$\Rightarrow f(xf(y)+4y^3)=yf(x)+4f(y^3),\forall x,y\in\mathbb R$.

Mà $f(xf(y)+y^3)=yf(x)+f(y^3)$ nên $f(xf(y)+4y^3)=f(xf(y)+y^3)+3f(y^3),\forall x,y\in\mathbb R$.

Mặt khác dễ dàng chứng minh $f(3y^3)=3f(y^3)$ nên $f$ là hàm cộng tính.

Phần còn lại khá dễ dàng bằng cách cho $y\to y+k$ ở (2) với $k\in\mathbb Q$ rồi sử dụng tính chất hàm cộng tính và xét đa thức biến $k$ suy ra $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$.

Bài toán có hai nghiệm: \begin{align*}f(x)=0,\forall x\in\mathbb R \\ f(x)=x,\forall x\in\mathbb R \end{align*}






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh