Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}^{+} \mapsto \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:
$(x+y)f(f(x)y) = x^2 f( f(x) + f(y)) $ với mọi $x,y \in \mathbb{R}^{+}$
\begin{equation}(x+y)f(f(x)y) = x^2 f( f(x) + f(y))\end{equation}
Giả sử tồn tại hàm $f$ thoả mãn phương trình hàm trên.
Thay $y=1$ vào $(1)$ ta có $$(x+1)f(f(x))=x^2f(f(x)+f(1)),\forall x>0$$
Nếu tồn tại $x_1,x_2$ sao cho $f(x_1)=f(x_2)$ thì $$\frac{x_1+1}{x_1^2}=\frac{x_2+1}{x_2^2}$$
$\Leftrightarrow x_1=x_2$.
Do đó $f$ là đơn ánh.
Với mọi $x>1$, thay $y=x^2-x$ vào $(1)$ ta có:
$$x^2f(f(x).(x^2-x))=x^2.f(f(x)+f(x^2-x)),\forall x>1$$
$$\Leftrightarrow f(f(x).(x^2-x))=f(f(x)+f(x^2-x)),\forall x>1$$
Sử dụng tính đơn ánh của $f$ ta có $$f(x).(x^2-x)=f(x)+f(x^2-x),\forall x>1$$
$$\Leftrightarrow f(x).(x^2-x-1)=f(x^2-x),\forall x>1$$
Tuy nhiên, nếu ta chọn $x$ sao cho $1<x<\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ thì $f(x).(x^2-x-1)<0$
$\Rightarrow f(x^2-x)<0$, vô lí.
Vậy không tồn tại hàm $f$ thoả mãn phương trình hàm đã cho.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh