Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả hàm $f$ thỏa mãn: $(x+y)f(f(x)y) = x^2 f( f(x) + f(y)) $ với mọi $x,y \in \mathbb{R}^{+}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Tìm tất cả hàm $f:  \mathbb{R}^{+} \mapsto  \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:

 

$(x+y)f(f(x)y) = x^2 f( f(x) + f(y)) $ với mọi $x,y \in \mathbb{R}^{+}$


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

\begin{equation}(x+y)f(f(x)y) = x^2 f( f(x) + f(y))\end{equation}

Giả sử tồn tại hàm $f$ thoả mãn phương trình hàm trên.

Thay $y=1$ vào $(1)$ ta có $$(x+1)f(f(x))=x^2f(f(x)+f(1)),\forall x>0$$

Nếu tồn tại $x_1,x_2$ sao cho $f(x_1)=f(x_2)$ thì $$\frac{x_1+1}{x_1^2}=\frac{x_2+1}{x_2^2}$$

$\Leftrightarrow x_1=x_2$.

Do đó $f$ là đơn ánh.

Với mọi $x>1$, thay $y=x^2-x$ vào $(1)$ ta có:

$$x^2f(f(x).(x^2-x))=x^2.f(f(x)+f(x^2-x)),\forall x>1$$

$$\Leftrightarrow f(f(x).(x^2-x))=f(f(x)+f(x^2-x)),\forall x>1$$

Sử dụng tính đơn ánh của $f$ ta có $$f(x).(x^2-x)=f(x)+f(x^2-x),\forall x>1$$

$$\Leftrightarrow f(x).(x^2-x-1)=f(x^2-x),\forall x>1$$

Tuy nhiên, nếu ta chọn $x$ sao cho $1<x<\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ thì $f(x).(x^2-x-1)<0$

$\Rightarrow f(x^2-x)<0$, vô lí.

Vậy không tồn tại hàm $f$ thoả mãn phương trình hàm đã cho.

 

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh