Chủ đề này có 3 trả lời

[jupiterhn9x]

Chứng minh không tồn tại các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} 1\leqslant b< d\leqslant c< a \\ ab = cd \geqslant 2022^4 \\ a-b \leqslant 4044 \end{matrix}\right.$

[ATHEIST]

Từ giả thiết, ta có:

$b\geq 1\Leftrightarrow ab\geq a$

Mà:

$ab=cd\geq 2022^{4}\Leftrightarrow a\geq 2022^{4}$ hoặc $a\leq 2022^{4}$

$a-b\leq 4045$ và $a-b\leq a-1 \Leftrightarrow a\leq 4045$ hoặc $a\geq 4045$

$\Leftrightarrow a\geq 2022^{4} \text{ (1)}$ hoặc $4045\geq a>1 \text{ (2)}$ hoặc $2022^{4} \geq a\geq 4045 \text{ (3)}$

Kết hợp với $1\leq b < d \leq c < a$ và $ab=cd\geq 2022^{4}$

Xét trường hợp $(1)$, ta được: $a=2022^4$ và $b=1$, từ đây ta có thể lấy $cd$ tuỳ ý thoả $cd \geq 2022^4$ và $1 < d \leq c < 2022^4$ ( ví dụ như $c=d=2022^2$ chẳng hạn).

Từ đây ta có thể kết luận, đề có lỗi  .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ATHEIST: 08-05-2022 - 09:55

[jupiterhn9x]

Bộ số (a;b) bạn thu được không thỏa mãn $a-b\leqslant 4044$ rồi !
 

Từ giả thiết, ta có:

$b\geq 1\Leftrightarrow ab\geq a$

Mà:

$ab=cd\geq 2022^{4}\Leftrightarrow a\geq 2022^{4}$ hoặc $a\leq 2022^{4}$

$a-b\leq 4045$ và $a-b\leq a-1 \Leftrightarrow a\leq 4045$ hoặc $a\geq 4045$

$\Leftrightarrow a\geq 2022^{4} \text{ (1)}$ hoặc $4045\geq a>1 \text{ (2)}$ hoặc $2022^{4} \geq a\geq 4045 \text{ (3)}$

Kết hợp với $1\leq b < d \leq c < a$ và $ab=cd\geq 2022^{4}$

Xét trường hợp $(1)$, ta được: $a=2022^4$ và $b=1$, từ đây ta có thể lấy $cd$ tuỳ ý thoả $cd \geq 2022^4$ và $1 < d \leq c < 2022^4$ ( ví dụ như $c=d=2022^2$ chẳng hạn).

Từ đây ta có thể kết luận, đề có lỗi  .

[Hoang72]

Giả sử tồn tại $a,b,c,d$ thoả mãn hệ điều kiện đã cho.

Đặt $(a,c)=x; (b,d)=y$. Từ $ab=cd$ chỉ ra được tồn tại $(m,n)=1,m>n$ để $a=mx;c=nx;d=my;b=ny$.

Nhận thấy $nx\geq my$ và $mnxy\geq 2022^4\Rightarrow nx\geq 2022^2$.

Đồng thời $nx\geq my$ mà $m>n$ nên $x>y\Rightarrow x\geq y+1$.

Do đó $a-b=mx-ny\geq mx-n(x-1)=(m-n)x+n\geq x+n\geq 2\sqrt{xn}=4044$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y+1; m=n+1; x=n;xn=ym$. Thế thành hai biến $x,n$ ta dễ dàng chỉ ra vô lí.

Vậy không tồn tại $a,b,c,d$ thoả mãn.