Chủ đề này có 1 trả lời

[KhangOwO]

Cho $a, b, c>0$. CMR: $\frac{b+c}{\sqrt{a^2+bc}}+\frac{a+c}{\sqrt{b^2+ac}}+\frac{a+b}{\sqrt{c^2+ab}}\geq4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-05-2022 - 22:11
Tiêu đề + LaTeX

[Hoang72]

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có $$VT^2.\left[\sum (b+c)(a^2+bc)\right]\geq (a+b+b+c+c+a)^3$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $$\frac{4(a+b+c)^3}{\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}ab^2}\geq 16$$

Tuy nhiên bất đẳng thức trên tương đương với $\sum a^3+6abc\geq \sum_{sym} a^2b$.

Sử dụng bất đẳng thức Schur ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)=(k,k,0)$ và các hoán vị.